18.8 Những loại sóng không sin tính

Thật khá dễ dàng để phân biệt âm thanh phát ra từ một cây violon hay từ saxophone, thậm chí ngay cả khi chúng cùng chơi một nốt. Nhưng việc phân biệt cùng một nốt nhạc thổi ra từ clarinet và từ kèn ô-boa không hoàn toàn đơn giản, nhất là với người không tinh hiểu nhạc lý. Ta có thể quan sát phổ đồ thị sóng âm từ những nguồn âm khác nhau để giải thích hiện tượng này.

Khi những dao động có tần số là bội nguyên của tần số cơ bản kết hợp với nhau, chúng tạo nên nhạc âm. Tai người có thể nhận ra được bội âm (hoạ âm) của một tần số cơ bản cho trước. Đó là cơ sở sinh lý cho phép con người có khả năng xướng âm một nốt có tần số là bội hoặc ước của một nốt đã nghe. Ngược lại, sự chồng chập của những dao động có tần số không có quan hệ bội ước với nhau sẽ tạo ra tiếng ồn (noise). Việc xướng lại một âm thanh như thế là rất khó.

Phổ dao động âm ghi lại từ một nhạc cụ là kết quả của sự chồng chập của nhiều tần tần số là bội âm của tần số cơ bản. Sự chồng chập này tạo ra vô số sắc thái phong phú. Cảm nhận của con người trước những cách pha trộn khác nhau từ các hoạ âm được gọi là âm sắc. Âm sắc của trumpet nghe lanh lảnh, rất dễ phân biệt với âm sắc “xào xạc” của saxophone. Ngược lại, clarinet và kèn o-boa có cấu tạo tương tự nhau, đều chứa cột khí dao động cộng hưởng nhờ lưỡi gà, lại phát ra những âm sắc tương đồng khó phân biệt.

Phổ dao động âm của hầu hết các loại nhạc cụ đều không có dạng hình sin. Phổ đặc trưng của âm thoa, flute, clarinet khi chơi cùng một nốt nhạc được ghi lại trên hình 18.18. Mỗi nhạc cụ có một dạng phổ riêng. Tuy nhiên, dù cho hình dáng khác nhau, chúng đều thể hiện tính tuần hoàn. Đặc điểm này đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích và tổng hợp dao động và sóng.

Vấn đề phân tích sóng không sin tính ban đầu trông có vẻ quá sức phức tạp. Nhưng nếu phổ dao động có dạng tuần hoàn, nó có thể biểu diễn qua sự tổng hợp của rất nhiều sóng sin tính, hay sóng điều hoà thuộc chuỗi hoạ âm. Thực vậy, chúng ta luôn có thể biểu diễn một hàm tuần hoàn bất kì dưới dạng tổng các hàm \(\sin\) hoặc \(\cos\) nhờ vào định lý Fourier trong toán học. Giả sử \(y(t)\) là một hàm số tuần hoàn theo thời gian với chu kì \(T\), có nghĩa \(y(t+T)=y(t)\). Định lý Fourier khẳng định rằng \(y(t)\) luôn có thể viết thành:

\begin{equation}
y(t)=\sum{(A_n\sin 2\pi f_nt+B_n\cos 2\pi f_nt)},
\label{eq:18.13}
\end{equation}

trong đó tần số có giá trị thấp nhất \(f_1=1/T\). Những tần số bậc cao hơn đều là bội số nguyên của tần số cơ bản: \(f_n=nf_1\), còn các hệ số \(A_n\) và \(B_n\) tương ứng với biên độ của mỗi hoạ âm điều hoà. Tổng nằm bên vế phải của \(\eqref{eq:18.13}\) gọi là chuỗi Fourier. Hình 18.19 đưa ra kết quả phân tích Fourier, hay phổ hoạ âm, cho các sóng trên hình 18.18. Mỗi cột trên đồ thị đặc trưng cho cường ddooj của một hoạ âm trong chuỗi \(\eqref{eq:18.13}\). Để ý rằng phổ của âm thoa chỉ chứa duy nhất một tần số, trong khi đó phổ flute và phổ clarinet mang đủ mọi tần số từ thấp đến cao.

Quan sát cho thấy có sự phân bố khác nhau về cường độ các hoạ âm trong phổ flute và clarinet. Một cách tổng quát, mọi nhạc âm đều chứa một hoạ âm cơ bản với tần số \(f\) cộng hợp với các hoạ âm bậc cao có tần số bội nguyên của \(f\), với sự phân bố cường độ không đồng đều, đặc trưng cho âm sắc của mỗi loại nhạc cụ.

Lý thuyết đầy đủ về phép phân tích Fourier với nhiệm vụ cốt lõi là tính toán các hệ số trong chuỗi Fourier \(\eqref{eq:18.13}\) tạm thời không nhắc đến trong giáo trình này.

Ngược lại với phân tích Fourier nói trên là phép tổng hợp Fourier. Trong quá trình ngược này, khi đã biết được phổ hoạ âm, ta có thể cộng các hoạ âm lại với nhau để khôi phục phổ dao động ban đầu. Hình 18.20 đưa ra ví dụ về phép tổng hợp Fourier cho một sóng vuông. Phân tích Fourier trước đó cho thấy rằng, phổ hoạ âm của sóng vuông chỉ bao gồm các hoạ âm có tần số bội nguyên lẻ của tần số cơ bản: \(f,3f,5f\ldots\) Trên hình 18.20a, đường đậm màu xanh thể hiện tổng hợp Fourier từ hai hoạ âm bậc nhất và bậc \(3\). Trên hình 18.20b, ta có thêm sự tham gia của hoạ âm bậc \(5\). Ta thấy rằng hình dạng tự nhiên của sóng vuông chỉ được khôi phục một cách gần đúng, không đủ vuông vức như nó vốn có.

Hình 18.20c đưa ra kết quả tổng hợp đến hoạ âm bậc \(9\), sự khôi phục đã tốt hơn khá nhiều so với hai hình trước đó. Để khôi phục gần như hoàn toàn sóng vuông ban đầu, ta cần đến vô số các hoạ âm với tần số tiến đến vô cùng.

Ứng dụng công nghệ hiện đại, các nhạc cụ điện tử có khả năng tạo ra đủ loại hình âm sắc nhờ phép tổng hợp Fourier từ các hoạ âm bằng nguyên lý đã trình bày.