18.3 Sóng ràng buộc bởi điều kiện biên

Hình 18.9

Ta khảo sát chuyển động của một sợi dây chiều dài \(L\) mắc như hình 18.9. Có thể hình dung nó như sợi dây trên cây đàn guitar. Sóng có thể lan truyền theo cả hai hướng dọc theo dây. Từ đây sóng dừng có thể hình thành qua sự chồng chập không ngừng giữa sóng tới và sóng phản xạ. Đặc biệt ở đây có sự tồn tại của điều kiện biên: hai đầu dây luôn phải cố định, chúng phải có độ di dời bằng \(0\) và làm thành những nút sóng. Những nút cố định này nằm cách nhau đúng bằng chiều dài dây, khiến cho bước sóng tạo ra cũng mang giá trị xác định, tuân theo điều kiện hình thành nút sóng (18.2), dẫn đến tần số cũng có tần số nhất định nào đó. Điều kiện biên tạo nên một dãy rời rạc các kiểu dao động của dây, hay ta còn gọi là các mode dao động riêng, mỗi mode tương ứng với một tần số nhất định có thể dễ dàng tính trước.

Hình 18.10

Các mode dao động riêng của sợi dây trên hình 18.9 có thể được tìm thấy từ hai nút sóng cố định ở hai đầu do điều kiện biên. Thêm nữa, cứ hai nút sóng liên tiếp nhau phải nằm cách nhau nửa bước sóng, ngăn cách giữa hai nút sóng liên tiếp phải là một bụng sóng. Mode dao động riêng đầu tiên thoả những điều trên chỉ ra trên hình 18.10a, ta gọi là mode dao động riêng bậc nhất, hay mode cơ bản, đơn giản với hai nút sóng hai đầu và chỉ một bụng sóng ở giữa. Đây là mode có bước sóng dài nhất có thể: \(\lambda_1=2L\). Trong mode dao động riêng bậc hai (hình 18.10b), sợi dây dao động với hai bụng sóng. Khi nửa bên trái chuyển động lên trên, nửa bên phải sẽ đi xuống dưới và ngược lại. Bước sóng lúc này bằng đúng chiều dài của dây: \(\lambda_2=L\). Mode dao động riêng bậc ba (hình 18.10c) tương ứng với bước sóng \(\lambda_3=2L/3\), và dây dao động với ba bụng sóng. Một cách tổng quát, bước sóng của các mode dao động riêng khác nhau được cho bởi công thức:

\begin{equation}
\lambda_n=\frac{2L}{n}\qquad n=1,2,3,\ldots
\label{eq:18.4}
\end{equation}

trong đó \(n\) là số bậc của mode dao động riêng. Đó cũng là những mode có thể xảy ra trên thực tế.

Những giá trị tần số gắn liền với các mode dao động có thể tính được nếu biết vận tốc truyền sóng:

\begin{equation}
f_n=\frac{v}{\lambda_n}=n\frac{v}{2L}\qquad n=1,2,3,\ldots
\label{eq:18.5}
\end{equation}

Dễ thấy rằng khi sợi dây dao động, các tần số bị lượng tử hoá, tức có giá trị rời rạc.

Vận tốc truyền sóng trên sợi dây phụ thuộc vào lực căng dây \(T\) và khối lượng trên một đơn vị chiều dài \(\mu\) của dây: \(v=\sqrt{T/\mu}\) (xem (16.18). Từ đây ta có thể viết lại \(\eqref{eq:18.5}\) dưới dạng:

\begin{equation}
f_n=\frac{n}{2L}\sqrt\frac{T}{\mu}\qquad n=1,2,3,\ldots
\label{eq:18.6}
\end{equation}

Tần số thấp nhất tương ứng với \(n=1\), được gọi là tần số cơ bản:

\begin{equation}
f_1=\frac{1}{2L}=\sqrt\frac{T}{\mu}.
\label{eq:18.7}
\end{equation}

Tần số của những mode dao động riêng còn lại đều là bội số của tần số cơ bản. Các mode dao động riêng tạo nên chuỗi các tần số có mối quan hệ bội số nguyên như thế được gọi là các hoạ âm. Tần số cơ bản \(f_1\) tương ứng với hoạ âm cơ bản, tần số \(f_2=2f_1\) tương ứng với hoạ âm bậc hai, tần số \(f_n=nf_1\) tương ứng với hoạ âm bậc \(n\). Ở một vài hệ dao động khác, ví dụ mặt trống, cũng hình thành nên các mode dao động riêng, nhưng dãy tần số cho ra không phải là bội số nguyên của tần số cơ bản (xem phần 18.6). Vậy nên chúng ta không sử dụng thuật ngữ “hoạ âm” cho những hệ dao động như thế.

Ta cùng xem các hoạ âm được tạo ra trên dây đàn như thế nào. Để kích thích chỉ một hoạ âm đơn lẻ, dây đàn cần được tạo ra một biến dạng ban đầu tương ứng với một trong số các mode dao động riêng nói trên, với dạng hàm hình sin. Sau khi nhả ra, dây sẽ dao động theo đúng mode đó và phát ra âm thanh chỉ có một tần số. Tuy nhiên đó chỉ là giả tưởng. Trên thực tế không một nhạc cụ nào tạo âm theo kiểu đó. Thực tế dây đàn được tạo biến dạng một cách “tự nhiên”, không phải hình sin, dao động sau đó sẽ mang âm hưởng của sự kết hợp đồng thời nhiều hoạ âm. Những biến dạng như thế diễn ra trên nhạc cụ theo nhiều hình thức: gảy đàn (như trên guitar), kéo đàn (như trên violon), hay gõ đàn (như trên dương cầm, khi ta bấm phím đàn truyền động đến búa, búa gõ vào dây đàn). Khi dây đàn được tạo biến dạng ban đầu theo hình không dạng sin như thế, chỉ có những sóng dừng thoả mãn điều kiện biên mới có thể tồn tại sau đó. Những sóng ấy chính là những hoạ âm.

Tần số hình thành nên nốt nhạc thực ra chỉ là tần số cơ bản của dao động trên dây đàn, trong đó có sự hiện diện của rất nhiều hoạ âm khác. Cao độ của nốt nhạc có thể thay đổi được bằng cách thay đổi độ dài hoặc chỉnh độ căng dây. Khi dây được căng lên, tần số phát ra cũng tăng theo, tương ứng với phương trình \(\eqref{eq:18.6}\). Một khi đàn đã được lên dây đúng tone, người nghệ sĩ đã có thể trình diễn nhạc phẩm bằng cách di chuyển ngón bấm. Chính khi ấy, nghệ sĩ đang thay đổi độ dài của dây đàn. Khi phím bấm gần ngựa đàn, dây bị ngắn lại, tần số cơ bản tăng lên theo phương trình \(\eqref{eq:18.6}\), làm nốt nhạc cao lên, và ngược lại.

Câu hỏi nhanh 18.3: Khi một sóng dừng được thiết lập trên một sợi dây cố định hai đầu, khẳng định nào sau đây là đúng?

(a) Số nút sóng bằng số bụng sóng.
(b) Bước sóng bằng chiều dài dây chia cho một số nguyên.
(c) Tần số bằng số lượng nút sóng nhân cho tần số cơ bản.
(d) Hình dạng của sợi dây tại thời điểm bất kì có dạng đối xứng qua trung điểm của dây.