17.1 Sự biến thiên áp suất trong sóng âm

Ở chương 16, chúng ta nghiên cứu sóng cơ học bằng cách khảo sát một xung lan truyền dọc theo sợi dây hay dọc theo một lò xo. Hãy làm điều tương tự dành cho trường hợp sóng âm. Ta sẽ miêu tả một cách trực quan sự di chuyển của một xung sóng âm dọc theo ống khí như hình 17.1. Một piston được đẩy nhanh từ trái sang phải sẽ làm khí bị nén lại và tạo ra xung. Trước khi piston chuyển động, khí nằm ở trạng thái cân bằng, mật độ khí đồng đều và biểu diễn bằng màu đồng nhất (hình 17.1a). Khi piston đẩy sáng phải (hình 17.1b), chỉ có phần khí nằm ngay trước piston bị nén lại, ứng với vùng tô đậm trên hình. Áp suất và mật độ trong vùng này lớn hơn giá trị trước khi piston dịch chuyển. Khi piston chững lại (hình 17.1c), vùng khí bị nén vẫn tiếp tục di chuyển về phía trước, tương ứng với một xung lan truyền dọc theo ống với vận tốc \(v\).

Ta cũng có thể tạo ra một sóng âm tuần hoàn trong ống khí như hình 17.2 bằng cách cho piston chuyển động điều hoà. Phần đậm hơn trên hình diễn tả vùng khí bị nén, có mật độ và áp suất cao hơn giá trị cân bằng. Vùng khí nén hình thành mỗi khi piston đẩy vào ống, di chuyển dọc theo ống và tiếp tục nén phần khí nằm ngay trước nó. Khi piston kéo lui về sau, khí nằm trước piston bị giãn ra, áp suất và mật độ tại vùng này giảm đi và nhỏ hơn giá trị lúc cân bằng (những vùng nhạt trên hình 17.2). Các vùng đậm và nhạt nối đuôi nhau chạy đi với tốc độ truyền âm trong môi trường.

Khi piston chuyển động điều hoà, các vùng nén-giãn khí luân phiên được tạo ra. Khoảng cách giữa hai vùng nén liên tiếp gọi là bước sóng. Do sóng âm là sóng dọc, thể hiện rõ nét qua sự nén và giãn của môi trường, mọi phần tử của khí đều chuyển động điều hoà song song với phương lan truyền của sóng. Độ chuyển dời của một phần tử khí so với vị trí cân bằng, hay ly độ, có thể biểu diễn qua hàm số:

\begin{equation}
s(x,t)=s_{max}\cos(kx-\omega t),
\label{eq:17.1}
\end{equation}

trong đó \(s_{max}\) là ly độ cực đại của phần tử khí khỏi vị trí cân bằng, cũng gọi là biên độ dịch chuyển, \(k\) – số sóng, \(\omega\) – tần số góc. Lưu ý rằng sự chuyển dịch của các phần tử khí diễn ra dọc theo trục \(x\) song song với phương truyền sóng.

Sự thay đổi của áp suất cũng diễn ra một cách tuần hoàn với cùng số sóng \(k\) và tần số góc \(\omega\) như phương trình \(\eqref{eq:17.1}\). Từ đó ta có thể viết:

\begin{equation}
\Delta P=\Delta P_{max}\sin(kx-\omega t),
\label{eq:17.2}
\end{equation}

trong đó biên độ áp suất \(\Delta P_{max}\) được xác định bởi độ biến thiên cực đại của áp suất khỏi giá trị cân bằng.

Lưu ý rằng nếu độ chuyển dời được biểu diễn qua hàm \(\cos\) thì độ biến thiên áp suất lại thể hiện qua hàm \(\sin\). Ta sẽ lý giải cho phép chọn lựa này. Trên hình 17.3a, chúng ta tập trung chú ý vào một lớp khí mỏng có chiều dài \(\Delta x\) và tiết diện \(A\) trong một ống khí đang ở trạng thái cân bằng. Thể tích của khối khí này bằng \(V=A\Delta x\).

Hình 17.3b miêu tả lớp khí này bị dịch chuyển qua vị trí mới khi sóng âm truyền qua. Hai mặt của lớp khí di chuyển được những đoạn \(s_1\) và \(s_2\) khác nhau, dẫn đến thể tích biến thiên một lượng \(\Delta V=A\Delta s=A(s_1-s_2)\).

Theo định nghĩa về modul khối (xem (12.8) chương 12)

\[B=-\frac{\Delta P}{\Delta V/V},\]

ta có thể biểu diễn sự biến thiên áp suất thông qua sự thay đổi thể tích:

\[\Delta P=-B\frac{\Delta V}{V}.\]

Thế giá trị của thể tích ban đầu \(V\) và độ biến thiên thể tích \(\Delta V\) nói trên vào, ta có:

\[\Delta P=-B\frac{A\Delta s}{A\Delta x}.\]

Khi lớp khí đang khảo sát trở nên vô cùng mỏng, tỉ số \(\Delta s/\Delta x\) trở thành đạo hàm riêng:

\begin{equation}
\Delta P=-B\frac{\partial s}{\partial x}.
\label{eq:17.3}
\end{equation}

Thế hàm chuyển dời \(\eqref{eq:17.1}\) vào \(\eqref{eq:17.3}\) thu được:

\[\Delta P=-B\frac{\partial}{\partial x}\left[s_{max}\cos(kx-\omega t)\right]=Bs_{max}k\sin(kx-\omega t).\]

Từ đây ta thấy rằng nếu độ chuyển dời được viết bằng hàm \(\cos\) sẽ dẫn đến áp suất được biểu diễn qua hàm \(\sin\). Ta cũng thấy được mối liên hệ giữa biên độ dịch chuyển và biên độ áp suất:

\begin{equation}
\Delta P_{max}=Bs_{max}k.
\label{eq:17.4}
\end{equation}

Những suy luận trên chỉ ra rằng, sóng âm đều có thể diễn đạt tốt qua độ chuyển dời hoặc qua biến thiên áp suất. Đồ thị trên hình 17.4 cho thấy, độ chuyển dời và biến thiên áp suất lệch pha nhau \(1/4\) chu kì. Sự biến thiên áp suất đạt cực đại khi độ chuyển dời khỏi vị trí cân bằng bằng không, và ngược lại.

Câu hỏi nhanh 17.1: Khi bạn vỗ lên miệng của một chai rỗng, một xung sóng âm sẽ truyền xuống theo không khí chứa trong chai. Vào thời điểm xung này đến được đáy chai, diễn tả nào sau đây về độ chuyển dời của các phần tử khí và áp suất khí tại điểm này là chính xác:

(a) Độ chuyển dời và áp suất đều đạt cực đại.
(b) Độ chuyển dời và áp suất đều đạt cực tiểu.
(c) Độ chuyển dời bằng không còn áp suất đạt giá trị lớn nhất.
(d) Độ chuyển dời bằng không còn áp suất đạt giá trị nhỏ nhất.