Chương 1: Những tính chất lượng tử
của bức xạ điện từ
\(\text\S 1.1\) Hiệu ứng quang điện
\(\text\S 1.2\) Hiệu ứng Compton
\(\text\S 1.3\) Quang phổ vạch
Chương 2: Mẫu nguyên tử cổ điển
\(\text\S 2.1\) Thí nghiệm Rutherford
Năm 1911, Rutherford cùng hai trợ lý Geiger và Marsden đã tiến hành thí nghiệm tán xạ tia alpha trên nguyên tử vàng. Sơ đồ nguyên lý của thí nghiệm mô tả trên hình 1, với chùm tia alpha phát ra từ phân rã phóng xạ, bắn vào lá vàng mỏng. Mỗi hạt alpha có điện tích bằng +2e và khối lượng bằng 4 đvC. Thí nghiệm cho thấy, hạt alpha bị lệch những góc đáng kể khi đi xuyên qua lá vàng. Đặc biệt, có tỉ lệ khoảng 1/8000 số hạt alpha bị lệch những góc lớn hơn 90 độ.
\(\text\S 2.2\) Mẫu nguyên tử Bohr
Chương bổ sung: Hình học của số phức
Có lẽ trong chúng ta, khi đọc bài này, hầu như ai cũng từng học qua số phức. Và cũng có lẽ số phức phần nào để lại những bí ẩn khó hiểu. Bài viết này ra đời với mong muốn góp phần làm sáng tỏ vấn đề số phức, giúp sinh viên các ngành kĩ thuật vận dụng tốt hơn, thấu hiểu hơn về bản chất của các biểu diễn phức.
\(j\) – “đơn vị ảo”
Số phức theo định nghĩa thông thường được biểu diễn dưới dạng \(z = a+jb\) gồm hai thành phần: phần thực \(a\) và phần ảo \(b\). “Phức” ở đây có nghĩa là sự pha trộn giữa “thực” và “ảo”. \(j\) được gọi là “đơn vị ảo” và có tính chất vô cùng độc đáo:
\(j^2 = -1.\)
Chương 3: Lưỡng tính sóng hạt
\(\text\S 3.1\) Hàm sóng
Sóng là quá trình lan truyền xung động. Một sóng phẳng lan truyền theo chiều dương của trục \(x\) và không suy giảm theo thời gian có dạng:
\(\psi(x,t)=\psi(x-vt),\tag{1}\)trong đó \(v\) – tốc độ truyền sóng. Tại thời điểm \(t=0\), sóng có dạng hàm \(\psi=\psi(x,0)\). Khi thời gian trôi qua, tại thời điểm \(t\) sau mốc \(t=0\) hàm sóng vẫn giữ nguyên hình dạng \(\psi(x,0)\), nhưng bị kéo sang phải một đoạn đường bằng \(vt\), trở thành dạng (1).
\(\text\S 3.2\) Sóng de-Broglie
Vào năm 1924, nhà vật lý người Pháp Louis de Broglie (phát âm /dəˈbrɔɪ/) đã đưa ra một giả thuyết về lưỡng tính sóng hạt. Từ suy nghĩ cho rằng các lượng tử ánh sáng, hay photon, vừa mang tính chất sóng, vừa mang tính chất hạt, de Broglie cho rằng các hạt thông thường cũng mang tính chất sóng.
Theo lý thuyết de Broglie, một chùm các hạt tự do, chuyển động cùng hướng với cùng một vận tốc sẽ hoàn toàn tương đương với một sóng hình sin:
\(\psi(x,t)=Ce^{i(kx-\omega t)},\)với số sóng \(k\) và tần số \(\omega\) có mối liên hệ trực tiếp với xung lượng và năng lượng:
\(k=\frac{p}{\hbar},\qquad\omega=\frac{E}{\hbar},\)
\(\text\S 3.3\) Nguyên lý bất định Heisenberg
Sự xác định và bất định của sóng de-Broglie
Trong mục \(\text\S 3.2\) ta đã đề cập đến sóng de-Broglie, sóng phẳng hình sin đại diện cho chùm hạt tự do:
\(\psi_p(x,t)=Ce^{i(\frac{p}{\hbar}x-\frac{E}{\hbar}t)}.\)Chùm hạt tự do có các hạt chuyển động cùng hướng, cùng vận tốc. Một mặt, tất cả các hạt đều có chung một vector xung lượng \(p\), có hướng trùng với hướng truyền sóng de-Broglie. Ta nói rằng chùm hạt tự do có chung một giá trị xung lượng duy nhất.
\(\text\S 3.4\) Phương trình Schrodinger
Trong cơ học lượng tử, trạng thái của hạt được miêu tả qua hàm sóng \(\psi(x,t)\) luôn biến chuyển theo thời gian. Để tiên đoán trạng thái tương lai, ta cũng cần một phương trình cơ bản, tương tự như phương trình Newton trong cơ học cổ điển.
Trong trường hợp tổng quát khi hạt chuyển động trong trường thế \(U(x)\):
\(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U(x)\right)\psi(x,t).\tag{1}\)Vế trái của phương trình (1) chứa đạo hàm của trạng thái theo thời gian, có nghĩa rằng, từ trạng thái \(\psi(x,t)\) của hiện tại có thể dự đoán trạng thái tại mọi thời điểm sau đó thông qua việc giải phương trình vi phân.
Phương trình (1) do Schrodinger đề xuất vào năm 1926, đóng vai trò chủ đạo trong cơ học lượng tử. Tuy vừa được suy ra theo logic từ tính chất mặc nhiên của sóng de-Broglie, nhưng phương trình Schrodinger được xem như một tiên đề, không chứng minh, xem như đúng với mọi loại hàm sóng \(\psi(x,t)\). Thực nghiệm đã thừa nhận tính đúng đắn của phương trình Schrodinger trong cơ học lượng tử.
… đọc tiếp
\(\text\S 3.5\) Sóng de-Broglie với rào thế bậc thang
Quá trình lan truyền sóng de-Broglie có thể miêu tả như sau. Một sóng tới hình sin de-Broglie có năng lượng \(E>U_0\) di chuyển dọc theo vùng 1 như chùm hạt tự do. Sóng tới đến va đập vào bờ thế, một phần truyền qua, một phần bị phản xạ. Sóng truyền qua cũng sẽ chuyển động về phía trước nhưng với xung lượng nhỏ hơn, hay bước sóng dài hơn, do động năng bị suy giảm. Sóng phản xạ vẫn thuộc vùng 1, nên vẫn có cùng xung lượng với sóng tới, chỉ khác chỗ nó di chuyển ngược chiều \(x\). Bài toán của chúng ta là đi tìm biểu thức của ba sóng này.
… đọc tiếp
\(\text\S 3.6\) Bó sóng với rào thế bậc thang
Từ bài \(\text\S 3.2\) về sự tương tác của sóng de-Broglie với rào thế bậc thang, có thể hiểu rằng đó là tương tác giữa một chùm hạt đồng nhất lên rào thế. Để hiểu rõ ý nghĩa của tương tác này, ta sẽ đi xây dựng mô hình bó sóng với rào thế bậc thang, đặc trưng cho một hạt lao về phía rào thế.
Hãy khảo sát một bó sóng hình chuông, đặc trưng cho một hạt đang chuyển động với năng lượng \(E\) và xung lượng \(p=\sqrt{2mE}\). Tại thời điểm ban đầu \(t=0\) sóng có dạng hàm:
\(\psi(x,0)=Ae^{-x^2/4\sigma_x^2}e^{i(\frac{p}{\hbar}x-\frac{E}{\hbar}0)}.\tag{1}\)Hàm sóng (1) được diễn tả như hình 1, với độ bất định vị trí \(\sigma_x=10\,\mathrm{A}\). Mật độ của hạt lúc \(t=0\)
\(\psi(x,0)^*\psi(x,0)=Ae^{-x^2/2\sigma_x^2}\tag{2}\)có dạng của phân bố Gauss với độ lệch chuẩn bằng \(\sigma_x\), diễn tả qua đường màu cam trên hình 1. Như vậy, hàm sóng (1) diễn tả một “đám mây” hạt mà có đến \(70\,\%\) khối lượng của nó hội tụ quanh vị trí \(x=x_0\) trong vòng bán kính \(\sigma_x\).
… đọc tiếp
Chương 4: Trạng thái dừng và sự lượng tử hoá
\(\text\S 4.1\) Sự hình thành trạng thái dừng
Trong bài “Sóng de-Broglie với rào thế bậc thang” chúng ta đã đi đến kết luận, rằng khi năng lượng \(E\) thấp hơn chiều cao của rào thế sóng sẽ bị phản xạ toàn phần. Khi ấy sóng phản xạ sẽ giao thoa với sóng tới và hình thành sóng dừng. Câu hỏi đặt ra: chuyện gì xảy ra nếu ta đặt vào bên trái cũng một rào thế như trước, đối xứng và tạo nên một hố thế? Có thể hình dung trước cảnh tượng như sau. Thoạt tiên sóng sẽ phản xạ toàn phần trên rào thế bên phải, sóng tới bị dội ngược trên rào thế và trở thành sóng phản xạ. Tiếp theo sóng phản xạ di chuyển về bên trái với tư cách như một sóng tới, bắt gặp rào thế bên trái và cũng phản xạ toàn phần một lần nữa, hất ngược toàn bộ sóng về phía bên phải. Cứ như thế, sóng de-Broglie phản xạ qua về lặp đi lặp lại không ngừng nghỉ.
… đọc tiếp
\(\text\S 4.2\) Phương trình dừng Schrodinger
Trong bài “Sự hình thành trạng thái dừng“, ta đã đi đến kết luận rằng, chỉ khi năng lượng có giá trị cụ thể ở một vài mức nhất định, rời rạc, sóng trong hố thế mới ổn định và đạt đến trạng thái dừng. Khi ấy, tại mỗi điểm trong không gian, sóng chỉ dao động tại chỗ, không di chuyển. Hàm sóng đặc trưng cho trạng thái phải có dạng:
\(\psi_E(x,t)=\Psi(x)e^{-i(E/\hbar)t}.\)Chỉ số \(E\) kí hiệu ở đây ý nói rằng \(\psi_E(x,t)\) là hàm tương ứng với trạng thái dừng, có mức năng lượng \(E\) xác định. Hàm \(\Psi(x)\) chỉ phụ thuộc vào toạ độ, không phụ thuộc vào thời gian. Nó chỉ ra biên độ dao động của hàm sóng tại mỗi điểm trong không gian. Tại mỗi vị trí \(x\), sóng dao động tại chỗ với biên độ \(\Psi(x)\) và tần số \(\omega=E/\hbar\). Bản thân hàm \(\Psi(x)\) được gọi là hàm biên độ. Trong nhiều tài liệu khác, \(\Psi(x)\) cũng được gọi một cách chưa chính xác là hàm sóng, bởi vì \(\psi_E(x,t)=\Psi(x)e^{-i(E/\hbar)t}\) với sự vận động theo thời gian mới thực sự là sóng.
Một trong những bài toán cơ bản của cơ học lượng tử là đi tìm dạng của hàm biên độ \(\Psi(x)\).
… đọc tiếp
\(\text\S 4.3\) Giải phương trình Schrodinger
Bài viết này sẽ bàn đến một phương pháp khác giải phương trình Schrodinger:
\(\Psi''(x)=-k\left[E-U(x)\right]\Psi(x),\)với \(k=\dfrac{2m}{\hbar^2}\). \(U(x)\) là hàm thế năng có phương trình phụ thuộc vào hình dạng của hố thế. Khác với phương pháp cũ, ở đây ta cũng dùng phép “bắn tên”, nhưng bắn đồng thời từ hai hướng khác nhau. Ý tưởng mô tả như hình 1.
\(\text\S 4.4\) Trạng thái dừng trong hố thế vuông
Áp dụng phương pháp giải phương trình dừng Schrodinger, ta đã có thể xây dựng phổ các mức năng lượng cũng như dạng sóng phù hợp cho mỗi mức năng lượng ấy dành cho dạng hố thế bất kì. Hố thế vuông là trường hợp đơn giản nhất trong số đó.
Tại mỗi điểm trong không gian, sóng chỉ dao động tại chỗ, không di chuyển. Năng lượng của hạt càng lớn sẽ dẫn đến xung lượng càng lớn. Xung lượng càng lớn sẽ dẫn đến bước sóng càng bé đi. Như vậy chỉ có một vài giá trị của năng lượng đảm bảo được rằng, kích thước của sóng “vừa vặn” với hố thế.
\(\text\S 4.5\) Dao động tử điều hoà – Phần 1
Trong thế giới lượng tử ở tầm cỡ kích thước nguyên tử, vi hạt không xác định là một chất điểm dao động qua về quanh hố thế, mà loang ra thành đám mây orbitan. Sóng của đám mây này vận động tuân theo phương trình dừng Schrodinger:
\(\Psi''(x)=-k\left[E-U(x)\right]\Psi(x),\)với thế năng \(U(x)\) có dạng bậc hai:
\(U(x)=\frac{1}{2}kx^2.\)Sử dụng các phương pháp giải phương trình dừng Schrodinger với sự trợ giúp của máy tính, ta hoàn toàn có thể tìm ra được phổ năng lượng (rời rạc) mà tại những mức năng lượng ấy, sóng đạt trạng thái dừng. Hình 1 miêu tả một trong số những trạng thái dừng ấy.
\(\text\S 4.6\) Dao động tử điều hoà – Phần 2
Để biết được sự vận động của bó sóng theo thời gian, ta cần phân tích bó sóng thành sự chồng chập của các trạng thái dừng:
\(\psi(x,0)=\sum_n{C_n\Psi_n(x)},\)với \(\Psi_n(x)\) là nghiệm bậc \(n\) của phương trình Schrodinger:
\(\Psi''(x)=-\frac{2m}{\hbar^2}\left[E-U(x)\right]\Psi(x).\)
Chương 5: Thiết bị đo và toán tử
\(\text\S 5.1\) Máy phân tích phổ nhiễu xạ – Toán tử xung lượng
Trong cơ học lượng tử, trạng thái của hệ vi hạt hoàn toàn được miêu tả qua hàm sóng. Nếu muốn xác định xem xung lượng của sóng-hạt có giá trị bằng bao nhiêu, ta cần dùng cách tử nhiễu xạ tinh thể như thí nghiệm Davisson-Germer hình 1.
\(\text\S 5.2\) Máy phân tích quang phổ – Toán tử năng lượng
Máy phân tích quang phổ là thiết bị giúp phân tích quang phổ của chùm sáng phát ra từ một khối vật chất nào đó. Vì mỗi loại nguyên tử và phân tử đều bức xạ những tia có hệ bước sóng đặc trưng, nên qua đánh giá quang phổ, ta có thể thu được thông tin về thành phần nguyên tử và phân tử cấu thành nên khối vật chất đó.
Nguồn gốc của quang phổ hình thành do sự dịch chuyển từ trạng thái dừng có mức năng lượng cao xuống trạng thái dừng có mức năng lượng thấp.
\(\text\S 5.3\) Đại lượng có giá trị xác định đồng thời
Khái niệm về sự xác định của một đại lượng vật lý nghe có vẻ rất khác với cơ học cổ điển. Trong cơ học cổ điển, mọi đại lượng vật lý đều có giá trị xác định của nó. Nhưng với cơ học lượng tử, khi năng lượng xác định thì sóng phải là tổ hợp của nhiều de-Broglie với xung lượng khác nhau.
Nếu trạng thái của hạt trùng với một trong số những sóng de-Broglie:
\(\psi(x,t)=\psi_{p_n}(x,t),\)hạt sẽ có xung lượng hoàn toàn xác định, đúng bằng \(p_n\).
Nếu trạng thái của hạt trùng với một trong số những trạng thái dừng:
\(\psi(x,t)=\psi_{E_n}(x,t),\)hạt sẽ có năng lượng hoàn toàn xác định, đúng bằng \(E_n\).
Nhìn chung \(\psi_{p_n}(x,t)\) và \(\psi_{E_n}(x,t)\) là hai hàm sóng khác nhau. Hàm sóng de-Broglie \(\psi_{p_n}(x,t)\) có dạng sin, còn hàm trạng thái dừng \(\psi_{E_n}(x,t)\) lại có hình dạng đặc biệt, tuỳ vào hố thế. Do vậy nhìn chung, xung lượng và năng lượng của một hạt không thể có giá trị xác định đồng thời.
\(\text\S 5.4\) Moment động lượng
Toán tử xung lượng \(\hat{p}=-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial x}\) là hệ quả của lý thuyết de-Broglie về lưỡng tính sóng hạt, gắn liền với sóng de-Broglie. Toán tử động năng \(\hat{T}=-\dfrac{\hbar}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\)là hệ quả của phương trình Schrodinger. Giữa hai toán tử này lại có mối liên hệ:
\(\hat{T}=\frac{\hat{p}^2}{2m},\)có hình ảnh rất tương tự với mối quan hệ cổ điển:
\(T=\frac{p^2}{2m}.\)Điều đó khiến các nhà vật lý nghĩ đến sự mở rộng cho việc định nghĩa các đại lượng mới. Moment động lượng cũng nằm trong số đó.
Chương 6: Lượng tử hoá trong nguyên tử
\(\text\S 6.1\) Nguyên tử hidro trong trường hợp đối xứng cầu
Hidro là loại nguyên tử có cấu trúc đơn giản nhất trong tất cả các nguyên tố: chỉ một electron bao quanh hạt nhân cấu thành từ một proton. Hạt nhân proton này tạo ra xung quanh nó một điện trường, có xu hướng hút electron vào gần nó. Electron lúc này không còn chuyển động tự do, mà rơi vào hố thế của trường tĩnh điện Coulomb:
\(U(r)=-\frac{k_ee^2}{r},\qquad k_e=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}.\)Phương trình Schrodinger trong trường hợp đối xứng cầu:
\(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right)R(r)+U(r)R(r)=ER(r).\)
\(\text\S 6.2\) Nguyên tử hidro trường hợp tổng quát
Trong mục “Nguyên tử hidro trường hợp đối xứng cầu” ta đã phân tích các trạng thái dừng của nguyên tử hidro mà không xét đến sự quay của đám mây electron. Nói cách khác, ta đã khảo sát nghiêm túc nguyên tử hidro, nhưng chỉ với trường hợp moment quay bằng không. Giờ đây vấn đề nguyên tử hidro cần nhìn nhận lại một cách tổng quát hơn, khi tìm các trạng thái dừng có mức năng lượng xác định của electron trong nguyên tử hidro có tính đến cả sự quay. Các trạng thái dừng này tương ứng với những sóng dừng \(\Psi(x,y,z)\), thoả mãn phương trình Schrodinger:
\(-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\psi(x,y,z,t)+U(r)\psi(x,y,z,t)=E\psi(x,y,z,t),\)