№ 115C - Xác định moment quán tính qua khảo sát động lực học vật rắn

Mục đích

Thí nghiệm này đưa ra phương pháp xác định moment quán tính của vật bất kì đối với một trục quay nhất định thông qua việc khảo sát chuyển động quay của hệ vật rắn.

Nguyên lý phép đo

Moment quán tính
Hình 1: Moment quán tính của một vài vật rắn đối với trục quay đã chỉ ra

Moment quán tính là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật trong chuyển động quay và được định nghĩa theo công thức toán học:

\begin{equation}
I=\sum_i{r_i^2m_i}
\label{eq:moment_quantinh1}
\end{equation}

dành cho hệ các vật khối lượng m_i rời rạc và:

\begin{equation}
I=\int{r^2\,dm},
\label{eq:moment_quantinh2}
\end{equation}

dành cho hệ vật rắn liên tục, với r là khoảng cách từ mỗi phần tử khối lượng dm đến trục quay. Nhờ đó, với các vật có hình dáng đơn giản, đối xứng như thanh thẳng đồng chất, vành tròn, đĩa tròn đồng chất, hình trụ, hình cầu... không quá khó khăn để tìm ra các biểu thức cho moment quán tính. Trên hình 1 đưa ra một vài ví dụ. Moment quán tính thông dụng cũng có thể tra cứu từ bảng:

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_moments_of_inertia

Tình huống khó khăn hơn khi ta gặp phải những vật không tìm thấy trong bảng, hay những vật có thù hình phức tạp không thể tính được moment quán tính bằng lý thuyết. Lúc này chúng ta buộc phải đo đạc bằng thực nghiệm. Có nhiều phương pháp tiến hành, trong số đó có phương pháp xác định số đo quán tính quay thông qua khảo sát trực tiếp động lực học như sau.

Đặt vật cần xác định moment quán tính I lên một đĩa có trục quay cố định, sao cho trục quay của đĩa cũng chính là trục cần xác định moment quán tính (hình 1).

Moment quán tính I_0 của đĩa phải có giá trị biết trước. Lúc này tổng moment quán tính của hệ:

I_\sum=I_0+I.

Khi tác dụng một moment lực M_F lên hệ đĩa quay, đĩa sẽ bắt đầu quay nhanh dần đều với gia tốc góc:

\alpha=\frac{M_F}{I_\sum}=\frac{M_F}{I_0+I}.

Chỉ cần đo được gia tốc góc \alpha, ta sẽ suy ra được moment quán tính của vật cần xác định:

\begin{equation}
I=\frac{M_F}{\alpha}-I_0.
\label{eq:do_I}
\end{equation}

Thiết bị thí nghiệm

Thiết bị thí nghiệm được bố trí như hình 2.

Hình 2: Thiết bị thí nghiệm

Đối tượng khảo sát là một hệ đĩa quay, bao gồm vật khảo sát đặt trên đĩa quay, bị tác dụng moment lực từ phía quả nặng thông qua ròng rọc, và được đo gia tốc bằng cảm biến quang học. Như vậy moment lực dễ dàng tính được qua công thức:

\begin{equation}
M_F=m_1gr_0,
\label{eq:moment_luc2}
\end{equation}

trong đó m_1 - khối lượng quả nặng, g - gia tốc rơi tự do, r_1 - cánh tay đòn, cũng là bán kính của bánh đai (pulley) trên đĩa.

Moment quán tính của đĩa quay (chưa đặt vật khảo sát) có giá trị xác định biết trước: I_0=2\cdot 10^{-3}\mathrm{kg\cdot m^2}.

Sau khi tác dụng moment lực, từ trạng thái đứng yên vật sẽ quay được góc \varphi sau khoảng thời gian t:

\varphi=\frac{1}{2}\alpha t^2.

Như vậy phép đo gia tốc được tiến hành một cách gián tiếp qua việc đo góc quay và thời gian quay:

\begin{equation}
\alpha=\frac{2\varphi}{t^2}.
\label{eq:do_alpha}
\end{equation}

Góc quay \varphi ở đây là vùng nằm giữa hai cảm biến quang học EF. Khi đĩa quay đưa lá cờ quét ngang cảm biến E, máy đếm sẽ bắt đầu tính giờ. Khi lá cờ vượt quá cảm biến F, máy đếm dừng lại và cho ra thời gian t.

Có được M_F, I_0\alpha, thay vào \eqref{eq:do_I} ta có được moment quán tính I của vật khảo sát.

Quy trình thí nghiệm

Trong bản báo cáo thí nghiệm cần chuẩn bị các thông tin sau:

Vật khảo sát thứ nhất: \ldots
- Khối lượng vật khảo sát: m=\ldots
- Khối lượng quả nặng: m_1=\ldots
- Cánh tay đòn: r_1=\ldots
- Moment quán tính của đĩa chưa đặt vật: I_0=\ldots
- Góc quay: \varphi=\ldots
- Thời gian quay hết góc \varphi<t>=\ldots
- Moment lực: M_F=m_1gr_1=\ldots
- Gia tốc góc: \alpha=\dfrac{2\varphi}{t^2}=\ldots
- Moment quán tính của vật khảo sát: I=\dfrac{M_F}{\alpha}-I_0=\ldots
- Moment quán tính của vật khảo sát tính theo lý thuyết: I=\ldots

Vật khảo sát thứ hai: \ldots
- Khối lượng vật khảo sát: m=\ldots
- Khối lượng quả nặng: m_1=\ldots
- Cánh tay đòn: r_1=\ldots
- Moment quán tính của đĩa chưa đặt vật: I_0=\ldots
- Góc quay: \varphi=\ldots
- Thời gian quay hết góc \varphi<t>=\ldots
- Moment lực: M_F=m_1gr_1=\ldots
- Gia tốc góc: \alpha=\dfrac{2\varphi}{t^2}=\ldots
- Moment quán tính của vật khảo sát: I=\dfrac{M_F}{\alpha}-I_0=\ldots
- Moment quán tính của vật khảo sát tính theo lý thuyết: I=\ldots

Đặt vật khảo sát lên đĩa quay, sao cho trục quay của đĩa cũng chính là trục cần xác định moment quán tính.

Cân chỉnh chiều cao của giá đỡ sao cho dây chỉ nằm ngang, bám tốt vào bánh đai. Đặt hai cảm biến EF tạo một góc \varphi khoảng 120-270^\circ, ghi lại góc \varphi vào báo cáo thí nghiệm. Cảm biến cần đặt sao cho cảm ứng được khi lá cờ quét qua như hình 2. Lưu ý: thiết lập sao cho cờ di chuyển từ E sang F khi thả quả nặng.

Thiết lập máy đếm về chế độ t_{E\rightarrow F}. Lắp quả nặng m=5\,\mathrm{g} vào đầu dây rồi thực hiện quy trình sau:

1. Quay đĩa để quấn quả nặng lên cao, đến vị trí sao cho lá cờ nằm ngay trước cảm biến E.
2. Bấm nút "Start" để đưa máy đếm lên chế độ chờ.
3. Buông cho đĩa quay tự do dưới sức kéo của quả nặng. Lá cờ sẽ ngay lập tức kích hoạt đồng hồ.
4. Sau khi bộ đếm dừng lại do lá cờ đã vượt qua cảm biến F, ghi lại thời gian t vào giấy nháp.
Thực hiện lại phép đo trên 3 lần để lấy trung bình. Ghi giá trị trung bình <t> vào báo cáo thí nghiệm.

Sau khi đo được thời gian, theo các công thức từ mẫu báo cáo trên để tính ra được moment quán tính của vật khảo sát. Nếu vật khảo sát có dạng hình học đơn giản, hãy tra bảng và thử tính moment quán tính của nó bằng lý thuyết rồi so sánh với số đo thực nghiệm. Nếu trục quay không đi qua khối tâm của vật khảo sát, có thể dùng đến định lý Huygens-Steiner về các trục quay song song:

https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_axis_theorem