№ 111B - Tham số quỹ đạo của chuyển động ném xiên

Mục đích

Trong thí nghiệm này chúng ta khảo sát các tham số quỹ đạo của vật chuyển động dưới tác dụng của trường trọng lực, xây dựng hàm phụ thuộc của tầm xa và độ cao cực đại vào góc bắn, từ đó suy ra vận tốc ban đầu của vật.

Phương trình chuyển động

Hình 1

Mọi vật chuyển động chỉ dưới tác dụng của trọng lực đều chịu một gia tốc bằng nhau và hướng xuống: \vec{a}=\vec{g}, gọi là gia tốc trọng trường, hay gia tốc rơi tự do, có độ lớn trung bình g=9.81\,\mathrm{m/s^2}. Xét hệ toạ độ Decartes xOy với trục tung có chiều dương hướng lên trên, ném một vật với vận tốc ban đầu bằng v_0 hợp với phương ngang một góc \alpha từ vị trí trùng với gốc toạ độ, ta có thể phân tích tác dụng theo hai thành phần:

\begin{eqnarray}
a_x&=&0,\nonumber\\
a_y&=&-g.\nonumber
\end{eqnarray}

Từ đây dễ dàng suy ra được biểu thức của vận tốc:

\begin{eqnarray}
v_x&=&v_0\cos\alpha,\nonumber\\
v_y&=&v_0\sin\alpha-gt.\nonumber
\end{eqnarray}

Ta thấy rằng thành phần vận tốc theo phương ngang không bị thay đổi theo thời gian. Phương trình chuyển động của vật diễn tả quy luật biến đổi của toạ độ theo thời gian:

\begin{eqnarray}
x&=&v_0\cos\alpha\cdot t,\nonumber\\
y&=&v_0\sin\alpha\cdot t-\frac{1}{2}gt^2.\nonumber
\end{eqnarray}

Khử đại lượng thời gian t, ta có phương trình quỹ đạo:

\begin{equation}
y=-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\cdot x^2+\tan\alpha\cdot x.
\label{eq:phuongtrinh_quydao}
\end{equation}

Quỹ đạo của vật có dạng một parabol. Từ điều kiện y=0 ta suy ra được công thức tính tầm xa vật có thể vươn đến:

\begin{equation}
s=\frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}.
\label{eq:tamxa}
\end{equation}

Từ điều kiện v_y=0, suy ra được công thức tính độ cao cực đại:

\begin{equation}
h=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}.
\label{eq:tamcao}
\end{equation}

Nguyên lý thí nghiệm

Đối tượng khảo sát trong thí nghiệm là một hòn bi bằng kim loại, được tạo vận tốc đầu v_0 nhờ súng lò xo như hình 2. Góc bắn ban đầu \alpha có thể tuỳ chỉnh được. Việc cần làm sau khi bắn là xác định tầm xa của viên đạn và độ cao cực đại của nó.

Hình 2

Quy trình thí nghiệm

Làm quen với cây súng bắn lò xo, lường trước tầm xa và độ cao của viên bi bắn ra. Để ý rằng súng có 3 nấc bắn, tương ứng với 3 giá trị vận tốc đầu v_0 khác nhau. Cần thận trọng khi làm thí nghiệm, tránh bị thương khi sử dụng.

Cân chỉnh độ cao của khay cát, sao cho mặt cát cao ngang bằng với vị trí viên bi thoát ra khỏi súng. Chỉnh góc \alpha hợp bởi nòng súng và phương ngang một góc bằng 20^\circ bằng thước đo góc rồi tiến hành thí nghiệm theo trình tự sau:

1. Kéo lò xo đến nấc 1, tương ứng với v_0 nhỏ nhất, gài cố định.
2. Nạp bi vào súng.
3. Hất thanh gài để lò xo nhả ra, bắn viên bi. Đồng thời quan sát độ cao cực đại và tầm xa đạt được nhờ thước đo. Nếu quan sát chưa rõ, có thể lặp lại từ bước 1 để quan sát tốt hơn. Ghi lại s_1h_1 vào bảng 1 và bảng 2.
4. Chỉnh góc \alpha tăng thêm 5^\circ rồi lặp lại từ bước 1.

Sau khi làm loạt thí nghiệm với nấc lò xo 1, ta tiếp tục tiến hành thí nghiệm với nấc lò xo 2 tương ứng với v_0 mạnh hơn theo quy trình hoàn toàn tương tự để thu được dãy số liệu s_2h_2. Sau cùng làm tương tự với nấc lò xo 3.

Bảng 1: Tầm xa chuyển động ném xiên
Bảng 2: Độ cao cực đại

Xử lý dữ liệu

Từ số liệu bảng 1 và 2, dựng đồ thị của s_1(\alpha),s_2(\alpha),s_3(\alpha) phụ thuộc vào góc bắn \alpha trên cùng một hệ trục. Tương tự dựng độ thị của h_1(\alpha),h_2(\alpha),h_3(\alpha) phụ thuộc vào góc bắn \alpha trên cùng một hệ trục đồ thị khác. Đồ thị vẽ trên phần mềm Excel.


Xử lý nâng cao: Khớp dữ liệu thực nghiệm bằng hàm lý thuyết

Bài toán: Cần khớp dữ liệu s_1(\alpha) đã dựng ở trên bằng hàm số lý thuyết \eqref{eq:tamxa}:

\begin{equation}
s=\frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}.
\tag{\ref{eq:tamxa}}
\end{equation}

Phương pháp đề xuất:

Dựa vào dữ liệu s_1, dựng đồ thị hàm số s_1(t) với trục hoành tương ứng với biến số t=\sin{2\alpha}. Theo công thức \eqref{eq:tamxa}, đồ thị này có xu hướng là một đường thẳng đi qua gốc toạ độ:

s(t)=\frac{v_0^2}{g}\cdot t.

Như vậy, chỉ cần khớp hàm s_1(t) bằng một đường thẳng đi qua gốc toạ độ có dạng y=ax, trong đó hệ số góc a phải bằng:

a=\frac{v_0^2}{g}.

Từ đây suy ra được vận tốc đầu của viên đạn:

v_0=\sqrt{ag}.

Có được vận tốc đầu v_0, ta đã có thể vẽ đồ thị hàm số \eqref{eq:tamxa}. Bằng cách lập bảng cũng trong Excel, một cột tương ứng với \alpha=1^\circ,2^\circ,3^\circ,\ldots, đủ dày, cột bên cạnh tính s=v_0^2\sin 2\alpha/g và vẽ đồ thị chồng lên đồ thị của dữ liệu thực nghiệm trước đó.

Làm tương tự với các dữ liệu khác. Kết quả sẽ cho ra có dạng tương tự như hai hình dưới.

Hình 3: Sự phụ thuộc của tầm xa cực đại vào góc bắn
Hình 4: Sự phụ thuộc của độ cao cực đại vào góc bắn