№ 102 - Con lắc thuận nghịch

Mục đích

Xác định gia tốc trọng trường bằng cách khảo sát dao động của con lắc thuận nghịch.

Chương trình mô phỏng thực hiện bởi sinh viên
khoa Công nghệ thông tin
Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh:
Liên Minh Quang

Chương trình mô phỏng "Con lắc thuận nghịch"

Video minh hoạ

Nguyên lý phép đo

Hình 2.1

Con lắc thuận nghịch là con lắc có đến hai điểm treo: O_1O_2, vít cố định như hình 2.1. Ta có thể treo con lắc dao động quanh một trong hai điểm đó, khi ấy con lắc dao động như một con lắc vật lý thông thường với chu kỳ:
\begin{equation}
T=2\pi\sqrt{\frac{I}{mga}},
\label{T_thuannghich}
\end{equation}
trong đó I - moment quán tính của con lắc đối với trục đi qua điểm treo, a - khoảng cách từ trọng tâm đến điểm treo. Nhớ lại rằng chu kỳ dao động của con lắc toán học có dạng:

T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.


So sánh hai công thức trên, đặt

L=\frac{I}{ma}.


Thế vào \eqref{T_thuannghich} ta có:
\begin{equation}
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
\label{T_hieudung}
\end{equation}
Ta gọi Lchiều dài rút gọn của con lắc vật lý. Đó là chiều dài của một con lắc toán học có chu kỳ trùng với con lắc vật lý đang xét.

Như vậy từ công thức \eqref{T_hieudung}, nếu biết được chu kỳ T và chiều dài rút gọn L, ta có thể suy ra được gia tốc trọng trường g cần tìm. Vấn đề không đơn giản, bởi vì ta chưa xác định được độ dài rút gọn.

Các chứng minh phức tạp hơn dẫn đến kết quả rất quan trọng như sau: nếu treo ngược con lắc và cho nó dao động quanh điểm O_2 mà chu kỳ dao động của nó vẫn không đổi, thì khoảng cách O_1O_2 giữa hai điểm treo chính bằng chiều dài rút gọn L.

Hay:
Nếu

T'=T,


thì

L=O_1O_2.

Vậy nên để đi tìm độ dài rút gọn L, ta cần điều chỉnh cấu trúc của con lắc sao cho dù treo ở O_1 hay O_2, chu kỳ dao động của nó vẫn như nhau. Con lắc thuận nghịch trong bài thí nghiệm được cấu tạo có chủ ý, sao cho trọng tâm của nó thay đổi được nhờ di chuyển quả nặng B (nằm ngoài đoạn thẳng O_1O_2).

Những suy luận trên dẫn đến nguyên tắc tiến hành thí nghiệm khá đơn giản như sau. Điều chỉnh quả nặng B đến vị trí thích hợp sao cho khi đo chu kỳ dao động qua O_1O_2 cho ra cùng một giá trị chu kỳ T. Từ đó tính được gia tốc trọng trường theo công thức \eqref{T_hieudung}
\begin{equation}
g=\frac{4\pi^2L}{T^2}=\frac{4\pi^2O_1O_2}{T^2}.
\end{equation}

Quy trình thí nghiệm

Ta viết lại công thức chính:

g=\frac{4\pi^2L}{T^2}=\frac{4\pi^2O_1O_2}{T^2},


với hai tham số cần xác định là khoảng cách O_1O_2 và chu kỳ chung của hai đầu dao động T.

Đo khoảng cách giữa các điểm treo

Khoảng cách O_1O_2 đo trực tiếp bằng thước rồi ghi vào bảng 2.1.

Xác định chu kỳ chung của hai đầu dao động

Chúng ta đo chu kỳ dao động của con lắc qua điểm O_1O_2 theo từng vị trí cụ thể của quả nặng B.

Đầu tiên cài đặt đồng hồ đo thời gian ở chế độ N=50 và thang 99{,}99 s. Cho quả nặng B vặn sát vào phía trong (a=0). Treo con lắc lên bằng O_1, đo 50 chu kỳ dao động và ghi số liệu vào bảng 2.1. Sau đó treo con lắc lên bằng O_2, đo 50 chu kỳ dao động và ghi số liệu vào bảng 2.1.

Nới quả nặng B ra phía ngoài thêm 5 mm (a=5) và tiếp tục lặp lại phép đo trên, đến khi nào quả nặng B ra đến tận rìa.

Từ bảng 2.1 ta dựng được đồ thị của hai hàm số T_1(a)T_2(a), với a là tham số cấu trúc của con lắc. Đồ thị này có dạng tương tự như hình 2.2. Giao điểm của hai đồ thị này sẽ cho ra chu kỳ dao động chung T cho cả hai đầu. Cũng chính khi đạt chu kỳ này, khoảng cách O_1O_2 giữa hai điểm treo trở nên bằng độ dài rút gọn L của con lắc.

Hình 2.2

Phần mềm mô phỏng

Chương trình mô phỏng thực hiện theo một con lắc khác với quả nặng lớn hơn nhằm mục đích minh hoạ rõ nét sự thay đổi các tham số của con lắc như: vị trí trọng tâm, chu kì dao động, chiều dài rút gọn... Khi ấy người xem sẽ dễ hiểu được cơ chế làm việc của con lắc hơn. Người dùng có thể dùng chuột thay bàn tay vặn quả nặng lên xuống, thay đổi trục quay của con lắc, dùng chuột kéo con lắc ra góc lệch ban đầu và cho dao động.

Con lắc này có cấu tạo từ:

- Một thanh đồng chất dài 1.2 m, khối lượng 1 kg.
- Hai lưỡi dao O_1O_2 gắn cố định, mỗi cái khối lượng 100 g. Một lưỡi dao cách đầu thanh 10 cm, hai lưỡi dao lại cách nhau 71.5 cm.
- Hai quả nặng, khối lượng mỗi quả 2 kg, độ dày 2 cm. Một quả gắn cố định vào điểm nằm giữa hai lưỡi dao, cách dao O_1 15 cm. Quả nặng kia gắn phía ngoài O_2 và có thể vặn di chuyển được.

Hình 2.3

Đặc biệt chương trình còn biểu diễn con lắc đơn tương ứng có cùng chu kì dao động. Điều này nhằm diễn đạt một cách hình ảnh khái niệm "chiều dài rút gọn" của con lắc vật lý. Khi dùng chuột thay bàn tay vặn quả nặng, chiều dài này được biểu diễn qua dấu mũi tên.

Nếu chiều dài rút gọn này không bằng khoảng cách O_1O_2, chu kì dao động qua trục O_1 và qua trục O_2 sẽ khác nhau. Còn nếu chiều dài rút gọn trùng với khoảng cách O_1O_2, con lắc sẽ dao động với chu kì như nhau dù treo ở đầu nào.

Chu kì của con lắc mô phỏng này phụ thuộc vào vị trí quả nặng di động như đồ thị dưới. Giao điểm của hai đồ thị chu kì tương ứng với vị trí quả nặng, khi sự kiện chiều dài rút gọn trùng với khoảng cách O_1O_2 xảy ra.

Hình 2.4

Câu hỏi kiểm tra

  1. Khái niệm con lắc toán học, hay con lắc đơn.
  2. Khái niệm con lắc vật lý.
  3. Khái niệm chiều dài rút gọn của con lắc vật lý.
  4. Khái niệm về con lắc thuận nghịch.
  5. Định nghĩa gia tốc.
  6. Phương trình cơ bản của động lực học chất điểm.
  7. Phương trình cơ bản của động lực học vật rắn.
  8. Liệu có thể sử dụng con lắc đơn trong phép đo gia tốc rơi tự do?
  9. Tại sao bài thí nghiệm không sử dụng con lắc vật lý thông thường mà sử dụng con lắc thuận nghịch?
  10. Tại sao ta phải tìm giá trị của chu kỳ dao động, khi mà dù treo ở đầu nào, con lắc cũng dao động đúng giá trị chu kỳ đó?
  11. Tại sao trong bài thí nghiệm ta chỉ xét dao động góc nhỏ?
  12. Tại sao ta phải đo thời gian của 50 chu kỳ dao động chứ không đo chỉ 1 chu kỳ?
  13. Viết phương trình động lực học cho hệ con lắc đơn, từ đó suy ra chu kỳ dao động.
  14. Viết phương trình động lực học cho hệ con lắc vật lý, từ đó suy ra chu kỳ dao động.