№ 117 - Con lắc Maxwell

Bài thí nghiệm này có mục đích minh hoạ sự bảo toàn cơ năng, khảo sát sự biến đổi của thế năng thành năng lượng của chuyển động tịnh tiến và năng lượng của chuyển động quay.

Nguyên lý

Hình 1

Con lắc Maxwell là một bánh xe hay đĩa quay với trục được treo cân xứng trên hai sợi dây (hình 1). Khi quấn con lắc lên cao và thả ra, con lắc sẽ rơi xuống theo sức nặng, thế năng dần chuyển thành động năng làm tốc độ của nó tăng dần và đạt tối đa tại vị trí thấp nhất. Sau đó con lắc sẽ tiếp tục tự quấn dây theo chiều ngược lại, leo chậm dần lên cao, động năng dần biến thành thế năng, vận tốc dần về không tại điểm cao nhất. Sau đó nó rơi xuống trở lại và cứ thế tiếp diễn, lặp đi lặp lại chu kì của mình.

Con lắc Maxwell thường được dùng để minh hoạ cho sự bảo toàn của năng lượng cơ học. Khi dùng tay quấn con lắc lên cao rồi thả ra cho chuyển động, thế năng E_{pot} của con lắc sẽ chuyển dần thành động năng tịnh tiến E_{trans} và động năng quay E_{rot} trong suốt quá trình rơi.

Năng lượng toàn phần của hệ là một số không đổi:

\begin{equation}
E_{pot}+E_{trans}+E_{rot}=E=\mathrm{const}.
\label{eq:baotoanconang}
\end{equation}

Ta chọn gốc thế năng tại vị trí thả. Ngoài ra vì con lắc thả rơi không vận tốc đầu nên tổng cơ năng của hệ bằng không. Khi bánh xe rơi xuống một đoạn h nào đó kể từ điểm thả rơi:

\begin{equation}
-mgh+\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2=0,
\label{eq:baotoanconang2}
\end{equation}

hay:

\begin{equation}
mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2.
\label{eq:baotoanconang3}
\end{equation}

Ở đây m là khối lượng bánh xe, I - moment quán tính của bánh xe, h - độ cao tính từ vị trí cao nhất, v - vận tốc dài, \omega - vận tốc góc, g - gia tốc trọng trường.

Vận tốc dài và vận tốc góc có mối liên hệ với nhau thông qua bán kính trục quay v=\omega r. Thay mối liên hệ này vào \eqref{eq:baotoanconang3}, ta có được công thức tính moment quán tính của bánh xe:

\begin{equation}
I=mr^2\left(\frac{2gh}{v^2}-1\right).
\label{eq:momentquantinhbanhxe}
\end{equation}

Trong bài thí nghiệm này chúng ta chủ động cài đặt quãng đường h và tiến hành đo vận tốc dài của bánh xe khi trục bánh xe đạt đến quãng đường đó. Theo công thức \eqref{eq:momentquantinhbanhxe} ta tính được moment quán tính I của bánh xe. Khảo sát ở nhiều giá trị h khác nhau, ta sẽ quan sát được sự biến đổi thế năng thành động năng và sự bảo toàn cơ năng toàn phần.

Thực ra vận tốc dài của bánh xe được đo một cách gián tiếp thông qua việc đo thời gian trục bánh xe đi qua tia hồng ngoại của cảm biến. Khi trục bánh xe bắt đầu che tia hồng ngoại, đồng hồ bắt đầu đếm cho đến khi trục quay đi qua khỏi. Trong khoảng thời gian \Delta t đồng hồ đếm được ấy, bánh xe đi được quãng đường bằng đúng đường kính d của trục quay, cho nên:

\begin{equation}
v=\frac{d}{\Delta t}.
\label{eq:vantocdaibanhxe}
\end{equation}

Quy trình thí nghiệm

Cắm đầu dây của cảm biến quang học vào cổng E như hình 2. Cài đặt chế độ đếm thời gian t_E. Ở chế độ này, cảm biến sẽ đếm thời gian khi tia hồng ngoại bị che khuất và ngừng đếm khi không còn che nữa.

Hình 2

Đặt thước đo theo chiều thẳng đứng như hình 3. Trên thước này có hai con trỏ màu vàng, điều chỉnh con trỏ phía trên ngang bằng với trục quay khi bánh xe ở vị trí cao nhất.

Lấy giá trị h ban đầu từ giáo viên.

Phép đo tiến hành theo quy trình sau:

1. Di chuyển con trỏ phía dưới nhằm thiết lập đoạn đường h như trên hình 3. Ghi lại giá trị h vào bảng 1.
2. Kéo cảm biến quang học hình chữ U đến vị trí sao cho mắt cảm biến cao ngang với con trỏ phía dưới.
3. Quấn bánh xe lên vị trí cao nhất.
4. Bấm nút "\rightarrow 0\leftarrow" để xoá số đo cũ.
5. Bấm nút "Start" để cho phép đồng hồ đếm khi có tín hiệu.
6. Thả rơi bánh xe và chờ cảm biến hoạt động.
7. Khi đồng hồ cho ra giá trị thời gian \Delta t, ghi \Delta t vào bảng 1.
Tăng quãng đường h lên khoảng 5\,\mathrm{cm} rồi lặp lại phép đo từ bước 1.

Hình 3
Bảng 1: Giá trị thực nghiệm

Đường kính trục quay d được đo bằng thước kẹp.

Xử lý số liệu

Từ số liệu bảng 1, ta tính vận tốc dài của bánh xe theo công thức \eqref{eq:vantocdaibanhxe}:

v=\frac{d}{\Delta t}.

Có được quãng đường h và vận tốc v ta tính được moment quán tính I theo công thức \eqref{eq:momentquantinhbanhxe}:

I=mr^2\left(\frac{2gh}{v^2}-1\right).

Ghi giá trị trung bình của I vào bảng 1.

Thế năng của bánh xe tính theo công thức:

E_{pot}=-mgh.

Động năng tịnh tiến E_{trans} tính theo công thức:

E_{trans}=\frac{1}{2}mv^2.

Động năng quay E_{rot} tính theo công thức:

E_{rot}=\frac{1}{2}\bar{I}\omega^2=\frac{1}{2}\frac{\bar{I}}{r^2}v^2=\frac{2\bar{I}}{d^2}v^2,

trong đó \bar{I} là giá trị trung bình của moment quán tính.

Động năng của bánh xe là tổng các động năng:

E_{kin}=E_{trans}+E_{rot}.

Nêu nhận xét về sự biến đổi của các loại hình năng lượng và sự phân bố động năng trong chuyển động quay và tịnh tiến.