№ 116 - Bảo toàn moment động lượng trong chuyển động quay

Mục đích thí nghiệm

Thí nghiệm này giúp nghiệm lại định luật cơ bản nhất trong chuyển động quay của hệ vật cô lập: Định luật bảo toàn moment động lượng. Bên cạnh đó, ta cũng có thể kiểm tra lại phép bảo toàn cơ năng trong va chạm đàn hồi của sự quay.

Định luật cơ bản của sự quay

Để nói về định luật cơ bản của sự quay, ta thiết lập thí nghiệm bố trí như hình 1, với đối tượng khảo sát là hai đĩa quay có cùng trục quay. Mỗi đĩa vốn có thể quay độc lập không ảnh hưởng lên đĩa còn lại. Gọi đĩa trên là đĩa 1, đĩa dưới là đĩa 2.

Hình 1: Bố trí thiết bị thí nghiệm

Ma sát trên ổ bi trục quay được hạn chế còn rất nhỏ. Nếu đẩy nhẹ một đĩa, chẳng hạn đĩa trên, nó có thể duy trì sự quay trong thời gian dài với mất mát đủ nhỏ có thể bỏ qua. Ta nói rằng moment động lượng L_1 của đĩa được bảo toàn:

L_1=I_1\omega_1=\mathrm{const},

trong đó I_1 là moment quán tính của đĩa 1, \omega_1 là vận tốc góc của nó. Quả thực, bản thân đĩa 1 là vật cô lập về phương diện tác dụng lực: cả trọng lực lẫn phản lực tác dụng lên đĩa đều có điểm đặt trên trục quay và không sinh ra moment lực. Sự bảo toàn moment động lượng trên chỉ một đĩa như thế rất dễ kiểm tra.

Tình huống phức tạp hơn xảy ra khi hệ quay xảy ra tương tác bên trong. Chúng ta xét hệ cô lập cấu thành từ cả hai đĩa. Lúc này hệ không còn là một vật cứng nữa mà cấu thành từ nhiều thành phần chuyển động tương đối với nhau. Nhưng dù phức tạp đến mấy, định luật bảo toàn moment động lượng đã khẳng định rằng tổng moment động lượng của hệ đĩa luôn được bảo toàn:

L_1+L_2=I_1\omega_1+I_2\omega_2=\mathrm{const}.

Tương tác diễn ra bên trong hệ nói trên được thực hiện thông qua va chạm giữa hai đĩa. Mỗi đĩa gắn thêm một "mấu va chạm" ở rìa (hình 1), sao cho khi quay các đĩa không còn tự do mà ảnh hưởng lẫn nhau. Có hai trường hợp đặc biệt:

- Va chạm tuyệt đối đàn hồi. Khi va chạm, động năng dần chuyển sang thế năng của biến dạng trên hai mấu va chạm, rồi chuyển ngược lại thành động năng khi hai mấu xô đẩy nhau ra.
- Va chạm tuyệt đối không đàn hồi, còn gọi vắn tắt là va chạm mềm. Sau va chạm, toàn bộ mọi chuyển động tương đối giữa các thành phần của hệ hoàn toàn bị triệt tiêu, có nghĩa hai đĩa cùng quay như một khối thống nhất. Cơ năng trong va chạm này không được bảo toàn. Phần động năng của chuyển động tương đối hoàn toàn bị chuyển hoá thành nhiệt.

Dù trường hợp nào đi nữa, mặc cho cơ năng có bảo toàn hay không, tổng moment động lượng trước và sau va chạm vẫn không thay đổi:

I_1\omega_1+I_2\omega_2=I_1\omega_1'+I_2\omega_2'.

Ta có thể tính toán trạng thái của hệ sau va chạm nhờ vận dụng những tính chất ấy.

Va chạm đàn hồi

Ngoài sự bảo toàn moment động lượng, cơ năng cũng được bảo toàn. Từ đó hình thành hệ phương trình:

\begin{eqnarray}
I_1\omega_1+I_2\omega_2&=&I_1\omega_1'+I_2\omega_2',\nonumber\\
\frac{1}{2}I_1\omega_1^2+\frac{1}{2}I_2\omega_2^2&=&\frac{1}{2}I_1\omega_1'^2+\frac{1}{2}I_2\omega_2'^2.\nonumber
\end{eqnarray}

Giải hệ phương trình thu được:

\begin{eqnarray}
\omega_1'&=&\frac{2I_2\omega_2+(I_1-I_2)\omega_1}{I_1+I_2},\label{eq:omega_1_vachamdanhoi}\\
\omega_2'&=&\frac{2I_1\omega_1+(I_2-I_1)\omega_2}{I_1+I_2}.\label{eq:omega_2_vachamdanhoi}
\end{eqnarray}

Một trường hợp rất đặc biệt của tương tác đàn hồi là khi ta ép hai đĩa vào nhau, tạo thế năng tương tác giữa hai "mấu va chạm", từ trạng thái đứng yên \omega_1=\omega_2=0 hai đĩa đẩy nhau ra và quay với vận tốc \omega_1'\omega_2'. Định luật bảo toàn moment động lượng vẫn tuân thủ nghiêm ngặt:

0=I_1\omega_1'+I_2\omega_2',

hay

\begin{equation}
\frac{\omega_1'}{\omega_2'}=-\frac{I_2}{I_1}.
\label{eq:daynhaura}
\end{equation}

Va chạm mềm

Trường hợp này chỉ có định luật bảo toàn moment động lượng được vận dụng, kết hợp dữ kiện toàn bộ hệ hai đĩa kết thành một khối thống nhất sau va chạm và có cùng vận tốc góc \omega':

I_1\omega_1+I_2\omega_2=(I_1+I_2)\cdot\omega'.

Suy ra:

\begin{equation}
\omega'=\frac{I_1\omega_1+I_2\omega_2}{I_1+I_2}.
\label{eq:omega_vachammem}
\end{equation}

Những loại va chạm trung gian giữa tuyệt đối đàn hồi và tuyệt đối không đàn hồi chúng ta tạm thời không xét đến.

Nguyên lý phép đo

Trong thí nghiệm này ta sẽ khảo sát va chạm giữa hai đĩa trong hình 1. Hai cảm biến quang học đặt sát rìa các đĩa quay ở hai bên có vai trò trong việc đo các vận tốc quay \omega_1, \omega_2 trước va chạm và đo \omega_1', \omega_2' sau va chạm. Mỗi khi lá cờ hiệu quét qua cảm biến, vận tốc góc sẽ được đo đạc và truyền về máy tính. Có được giá trị thực nghiệm, ta có thể so sánh với kết quả tính bằng công thức lý thuyết \eqref{eq:omega_1_vachamdanhoi}\eqref{eq:omega_2_vachamdanhoi}, \eqref{eq:daynhaura}\eqref{eq:omega_vachammem}.

Thí nghiệm va chạm đàn hồi và va chạm mềm tiến hành gần như tương tự nhau, chỉ khác nhau ở cách bố trí "mấu va chạm". Trên mỗi mấu va chạm đính một viên nam châm. Muốn tạo nên va chạm đàn hồi, ta sắp đặt sao cho hai mấu đẩy nhau như hình 2. Còn muốn tạo va chạm mềm, ta làm cho chúng hút nhau như hình 3.

Hình 2: Cách bố trí để hai nam châm đẩy nhau
Hình 3: Cách bố trí để hai nam châm hút nhau

Có 4 trạng thái ban đầu dẫn đến va chạm của hai đĩa:

- Trường hợp 1: cả hai đĩa cùng lao đến về phía nhau
- Trường hợp 2: đĩa 1 đứng yên còn đĩa 2 lao đến va chạm
- Trường hợp 3: đĩa 2 đứng yên còn đĩa 1 lao đến va chạm
- Trường hợp 4: cả hai đĩa bị ép vào nhau bằng tay rồi buông ra

Quán tính của mỗi đĩa có thể thay đổi được bằng cách thêm bớt các đĩa kim loại. Bản thân mỗi đĩa trần bằng nhựa đã có moment quán tính bằng 10^{-3}\,\mathrm{kg\cdot m^2}, khi gắn thêm mỗi đĩa kim loại moment quán tính tăng thêm 10^{-3}\,\mathrm{kg\cdot m^2}. Cách tháo lắp đĩa kim loại miêu tả trong hình 4.

Hình 4: Tháo lắp đĩa kim loại

Quy trình thí nghiệm

Đầu tiên cần lấy thông tin về cấu trúc của mỗi đĩa quay từ giảng viên. Thêm bớt đĩa kim loại theo đúng yêu cầu đã cho. Đặt cảm biến E và F theo đúng miêu tả trên hình 1. Cảm biến E đặt bên phải, cắm vào CASSY ở cổng bên trái. Cảm biến F đặt bên trái, cắm vào CASSY ở cổng bên phải.

Chiều dương quy ước chọn theo hướng ngược chiều kim đồng hồ.

Thiết lập thí nghiệm

Khởi động phần mềm CASSY Lab 2, khai báo cổng đầu vào cho cảm biến như ô tròn màu đỏ hình 5.

Hình 5: Khai báo cổng vào cho cảm biến

Tại khung Settings (hình 6), khai báo 4 biến số cần đo là \omega_1, \omega_2, \omega_1', \omega_2', tương ứng với vận tốc góc của mỗi đĩa trước và sau va chạm.

Hình 6: Khai báo biến số cần đo

Nhấp chuột vào biến số \omega_1 để xuất hiện khung tuỳ chọn như hình 7. Cần thiết lập các tham số sau đây:

- Range: phạm vi cần đo chọn 5\,\mathrm{rad/s}.
- Radius: chọn bán kính đĩa quay bằng 0.1\,\mathrm{m}.
- Flag: chiều rộng của cờ hiệu, cũng là quãng đường mà đĩa sẽ quét qua tia hồng ngoại của cảm biến, thiết lập 17.5\,\mathrm{mm}.

Hình 7: Các tham số cần thiết lập
Khảo sát va chạm đàn hồi
Bảng 1: Dữ liệu thí nghiệm va chạm đàn hồi

Sắp đặt sao cho hai mấu va chạm đẩy nhau như hình 2.

Lưu ý: mỗi đĩa sau va chạm chỉ được quét cờ hiệu của nó qua đúng 01 cảm biến E hoặc F. Nếu một đĩa nào đó chuẩn bị quét sang cảm biến thứ hai, cần ngăn nó lại bằng tay!

Ta tiến hành bốn trường hợp va chạm.

Trường hợp 1: cả hai đĩa cùng lao đến về phía nhau

- Trong mục Trolley Position before Impact của phần mềm CASSY Lab 2 chọn thứ tự bố trí 1-E-F-2 (approaching each other).
- Đưa hai đĩa về vị trí ban đầu như hình dưới, theo đúng thứ tự 1-E-F-2 ngược chiều kim đồng hồ.
- Bấm chuột vào nút \rightarrow 0\leftarrow để quy 0, cho phép thực hiện phép đo mới.
- Dùng hai tay đồng thời đẩy hai đĩa về phía ngược nhau: đĩa 1 theo chiều dương, đĩa 2 theo chiều âm.
- Ghi giá trị của \omega_1, \omega_2, \omega_1', \omega_2' vào bảng 1.

Hình 8: Cả hai đĩa lao vào nhau và va chạm

Trường hợp 2: đĩa 1 đứng yên còn đĩa 2 lao đến va chạm

- Trong mục Trolley Position before Impact của phần mềm CASSY Lab 2 chọn thứ tự bố trí E-1-F-2 (trolley 1 at rest).
- Đưa hai đĩa về vị trí ban đầu như hình dưới, theo đúng thứ tự E-1-F-2 ngược chiều kim đồng hồ.
- Bấm chuột vào nút \rightarrow 0\leftarrow để quy 0, cho phép thực hiện phép đo mới.
- Đẩy nhẹ đĩa 2 về phía chiều âm cho va chạm với đĩa 1 đang đứng yên.
- Ghi giá trị của \omega_1, \omega_2, \omega_1', \omega_2' vào bảng 1.

Hình 9: Đĩa 1 đứng yên còn đĩa 2 lao đến va chạm

Trường hợp 3: đĩa 2 đứng yên còn đĩa 1 lao đến va chạm

- Trong mục Trolley Position before Impact của phần mềm CASSY Lab 2 chọn thứ tự bố trí 1-E-2-F (trolley 2 at rest).
- Đưa hai đĩa về vị trí ban đầu như hình dưới, theo đúng thứ tự 1-E-2-F ngược chiều kim đồng hồ.
- Bấm chuột vào nút \rightarrow 0\leftarrow để quy 0, cho phép thực hiện phép đo mới.
- Đẩy nhẹ đĩa 1 về phía chiều dương cho va chạm với đĩa 2 đang đứng yên.
- Ghi giá trị của \omega_1, \omega_2, \omega_1', \omega_2' vào bảng 1.

Hình 10: Đĩa 2 đứng yên còn đĩa 1 lao đến va chạm

Trường hợp 4: cả hai đĩa bị ép vào nhau bằng tay rồi buông ra

- Trong mục Trolley Position before Impact của phần mềm CASSY Lab 2 chọn thứ tự bố trí E-1-2-F (explosion).
- Đưa hai đĩa về vị trí ban đầu như hình dưới, theo đúng thứ tự E-1-2-F ngược chiều kim đồng hồ.
- Bấm chuột vào nút \rightarrow 0\leftarrow để quy 0, cho phép thực hiện phép đo mới.
- Dùng hai tay ép nhẹ hai đĩa vào với nhau, sau đó đột ngột thả hai tay ra cho hai đĩa xô đẩy nhau.
- Ghi giá trị của \omega_1, \omega_2, \omega_1', \omega_2' vào bảng 1.

Hình 11: Hai đĩa ban đầu đứng yên và bị ép vào nhau
Khảo sát va chạm mềm
Bảng 2: Dữ liệu thí nghiệm va chạm mềm

Sắp đặt sao cho hai mấu va chạm hút nhau như hình 3. Ta tiến hành hai trường hợp va chạm.

Trường hợp 1: đĩa 1 đứng yên còn đĩa 2 lao đến va chạm

- Trong mục Trolley Position before Impact của phần mềm CASSY Lab 2 chọn thứ tự bố trí E-1-F-2 (trolley 1 at rest).
- Đưa hai đĩa về vị trí ban đầu như hình dưới, theo đúng thứ tự E-1-F-2 ngược chiều kim đồng hồ.
- Bấm chuột vào nút \rightarrow 0\leftarrow để quy 0, cho phép thực hiện phép đo mới.
- Đẩy nhẹ đĩa 2 về phía chiều âm cho va chạm với đĩa 1 đang đứng yên.
- Ghi giá trị của \omega_1, \omega_2, \omega_1', \omega_2' vào bảng 2.

Hình 12: Đĩa 1 đứng yên còn đĩa 2 lao đến va chạm

Trường hợp 2: đĩa 2 đứng yên còn đĩa 1 lao đến va chạm

- Trong mục Trolley Position before Impact của phần mềm CASSY Lab 2 chọn thứ tự bố trí 1-E-2-F (trolley 2 at rest).
- Đưa hai đĩa về vị trí ban đầu như hình dưới, theo đúng thứ tự 1-E-2-F ngược chiều kim đồng hồ.
- Bấm chuột vào nút \rightarrow 0\leftarrow để quy 0, cho phép thực hiện phép đo mới.
- Đẩy nhẹ đĩa 1 về phía chiều dương cho va chạm với đĩa 2 đang đứng yên.
- Ghi giá trị của \omega_1, \omega_2, \omega_1', \omega_2' vào bảng 2.

Hình 13: Đĩa 2 đứng yên còn đĩa 1 lao đến va chạm

Xử lý dữ liệu

Từ bảng 1 tính giá trị lý thuyết của vận tốc các đĩa sau va chạm trong 3 trường hợp đầu theo công thức \eqref{eq:omega_1_vachamdanhoi}\eqref{eq:omega_2_vachamdanhoi}:

\begin{eqnarray}
\omega_1'&=&\frac{2I_2\omega_2+(I_1-I_2)\omega_1}{I_1+I_2},\nonumber\\
\omega_2'&=&\frac{2I_1\omega_1+(I_2-I_1)\omega_2}{I_1+I_2}.\nonumber
\end{eqnarray}

Còn trường hợp thứ tư cần kiểm tra sự đúng đắn của hệ thức \eqref{eq:daynhaura}:

\frac{\omega_1'}{\omega_2'}=-\frac{I_2}{I_1}.

Từ bảng 2 tính giá trị lý thuyết của vận tốc các đĩa sau va chạm theo công thức \eqref{eq:omega_vachammem}:

\omega_1'=\omega_2'=\frac{I_1\omega_1+I_2\omega_2}{I_1+I_2}.

So sánh kết quả lý thuyết với thực nghiệm.