Phương trình kinh tuyến

No Comments

Volgograd, 14 tháng 9 năm 2008

Tôi còn nhớ trong một giờ cơ học của giáo sư Briskin về lực hấp dẫn của Trái Đất, ông đã nói rằng: Chúng ta vừa chịu lực hấp dẫn hướng về tâm Trái Đất, vừa chịu lực ly tâm do hiệu ứng Trái Đất quay, do đó tổng hợp lực tác dụng lên chúng ta không hướng về tâm Trái Đất mà hướng về một điểm nào đó khác.

Điều đó khá dễ hiểu. Cũng chính vì lí do đó mà các phần của Trái Đất ở gần xích đạo có xu hướng bị bắn ra ngoài mạnh hơn, làm cho Trái Đất bị dẹt đi. Nhưng ông còn nói thêm rằng vì do có lực li tâm nên quả dọi, vốn hướng theo chiều của hợp lực, sẽ không hoàn toàn vuông góc với mặt đất nữa. Nói như ý của giáo sư, thì thực ra chúng ta đang đi lom khom chứ không phải đi thẳng. Theo đó các công trình nhà cửa cầu cống vốn lấy thăng bằng nhờ các dụng cụ như quả dọi hay ống nước cũng là thăng bằng cục bộ, chứ thật ra vẫn lệch một góc nhỏ so với bề mặt chung của Trái Đất. Hình vẽ sau đây sẽ diễn tả ý tưởng đó:

Hình 1

Tuy nhiên giáo sư vẫn phụ chú thêm rằng hiệu ứng lực li tâm thực ra rất nhỏ. Cho nên hợp lực tác dụng lên vạn vật trên mặt đất không khác với lực hấp dẫn bao nhiêu, gần như là trùng. Do đó chúng ta đứng vẫn thấy bình thường, và các công trình vẫn đẹp đẽ nằm ngang trên mặt đất.

Nhưng tôi lại có ý nghĩ khác.

Tôi cho rằng trong quá trình "tiến hóa" của mình, Trái Đất đã tự biết điều chỉnh “bộ dạng” sao cho mặt đất luôn phẳng. Mặt đất, theo ý nghĩa tôi đang dùng, chính là phần diện tích nhỏ xung quanh chân chúng ta. Chúng có thể là khoảng sân, là cánh đồng, miễn sao so với diện tích của toàn bộ bề mặt Trái Đất, nó chỉ cỏn con như kim giữa bể. Điều đó có nghĩa: nếu như ta dọi một quả dọi xuống, thì nó sẽ vuông góc với mặt đất ta đang đứng, mặc dù quả dọi vẫn hướng theo phương của hợp lực chứ không phải theo phương của lực hấp dẫn. Nói một cách toán học hơn, sợi dây sẽ vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc với bề mặt Trái Đất tại điểm ta đang đứng. Ý tưởng được minh hoạ qua hình vẽ sau:

Hình 2

Quá trình hình thành và tự điều chỉnh bộ dạng của Trái Đất như thế nào, chúng ta không có đủ bằng chứng để đi sâu. Nhưng mọi việc sẽ dễ dàng hơn nếu ta giả sử rằng Trái Đất bản thân nó cấu tạo từ một khối chất lỏng, hoặc đơn giản hơn, vẫn cấu tạo từ dung nham, đất đá, nhưng toàn bộ bao phủ bởi chất lỏng. Tôi chọn chất lỏng vì nó vừa có độ linh động để nhanh chóng thay đổi bộ dạng trong quá trình cân bằng lực, vừa có ranh giới bề mặt rõ ràng để ta khảo sát.

Bài toán đặt ra: B mặt chất lỏng của Trái Đất phải có hình dạng như thế nào để tại mọi điểm trên bề mặt ấy thỏa mãn hai điều kiện:

  1. Cân bằng giữa các lực hấp dẫn, li tâm và phản lực.
  2. Hợp của lực hấp dẫn và lực li tâm phải vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc.

Ta sẽ khai triển lời giải khi xét một mặt cắt của Trái Đất đi qua trục quay của nó. Phương hướng của bài toán là đi tìm phương trình của đường kinh tuyến.

Xét một khối chất lỏng nhỏ khối lượng m như trên hình 2. Các lực tác dụng lên khối lỏng đó gồm lực hấp dẫn \vec{P}, lực quán tính ly tâm \vec{F_c} và phản lực vuông góc với bề mặt \vec{N}. Để đơn giản việc tính toán, ta ghi nhận rằng lực hấp dẫn \vec{P} có độ lớn không đổi và bằng:

P=G\frac{Mm}{R^2}.

Ở đây G - hằng số hấp dẫn, M - khối lượng Trái đất, R - bán kính trung bình của Trái đất, có nghĩa ta vẫn xem Trái đất gần như tròn.

Lực quán tính ly tâm có độ lớn

F_c=m\omega^2R\cos\varphi.

Áp dụng định luật Newton thứ hai cho hệ quy chiếu Trái đất:

\vec{P}+\vec{F_c}+\vec{N}=0.

Để tránh khỏi việc đối mặt với phản lực \vec{N}, ta chỉ xét hình chiếu các lực theo phương pháp tuyến với bề mặt Trái đất:

P\cos(\varphi+\alpha)=F_c\cos\alpha.

Khai triển theo tính chất lượng giác:

P(\cos\varphi\cos\alpha-\sin\varphi\sin\alpha)=m\omega^2R\cos\varphi\cos\alpha.

Chia cả hai vế cho \cos\varphi\cos\alpha:

P(1-\tan\varphi\tan\alpha)=m\omega^2R.

Hay:

\tan\varphi\tan\alpha=1-\frac{m\omega^2R}{P}.

Lưu ý rằng:

\tan\varphi=\frac{y}{x},\qquad\tan\alpha=-\frac{dy}{dx}.

 

Từ đó thu được:

-\frac{ydy}{xdx}=1-\frac{\omega^2R^3}{GM}.

Ở đây ta đã thế luôn biểu thức tính lực hấp dẫn vào. Nhận thấy rằng vế phải là một số không đổi. Đặt 1-\dfrac{\omega^2R^3}{GM}=H, ta được:

-\frac{ydy}{xdx}=H.

Suy ra

Hxdx=-ydy.

Lấy tích phân hai vế:

H\int{x\,dx}=-\int{y\,dy}.

Hay

H\frac{x^2}{2}=-\frac{y^2}{2}+C.

Xét điều kiện biên: x=0,y=R, suy ra C=R^2/2. Cuối cùng ta được:

Hx^2+y^2=R^2.

Đưa về dạng chính tắc:

\begin{equation}
\frac{x^2}{\left(\dfrac{R}{\sqrt{H}}\right)^2}+\frac{y^2}{R^2}=1.
\label{eq:elip}
\end{equation}

Đây chính là phương trình của một đường elip với bán trục lớn a=\dfrac{R}{\sqrt{H}} và bán trục bé b=R.

Trái đất có khối lượng M=5974\cdot 10^{21} kg, bán kính R=6.37\cdot 10^6 m, chu kì quay T=86400 giây. Từ những con số này có thể tính ra được H=0.9965, cũng như kết luận: bán trục lớn của đường elip kinh tuyến chỉ lớn hơn bán trục bé 1.0018 lần! Nói cách khác, bán kính Trái đất tính theo đường xích đạo và khoảng cách từ tâm Trái đất đến Bắc cực chỉ chênh nhau một khoảng rất nhỏ. Điều đó có nghĩa: Trái đất gần như tròn.

Tâm sai của đường elip nói trên

\begin{eqnarray}
e&=&\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\nonumber\\
&=&\sqrt{1-\left(\frac{b}{a}\right)^2}\nonumber\\
&=&\sqrt{1-H}\nonumber\\
&=&\omega\sqrt\frac{R^3}{GM}.
\label{eq:tamsai}
\end{eqnarray}

Từ công thức tính tâm sai \eqref{eq:tamsai} ta thấy rằng độ dẹt của hành tinh tỉ lệ thuận với vận tốc quay của nó. Hành tinh nào càng quay nhanh, nó càng bị dẹt nhiều. Kết quả này phù hợp với thực tế trực quan.

Khối lượng riêng của hành tinh tính một cách gần đúng:

\rho=\frac{M}{\dfrac{4}{3}\pi R^3}.

Suy ra:

\frac{R^3}{M}=\frac{3}{4\pi\rho}.

Thế vào công thức tâm sai \eqref{eq:tamsai} có được:

\begin{equation}
e=\omega\sqrt\frac{3}{4\pi\rho G}.
\label{eq:tamsai2}
\end{equation}

Từ công thức tính tâm sai \eqref{eq:tamsai2} ta thấy hành tinh càng bị dẹt khi khối lượng riêng của nó càng nhỏ.

Chúng ta cùng điểm qua một vài số liệu khác về hành tinh Trái đất. Chu vi của Trái đất tại xích đạo là 40075 km, còn chu vi đi qua hai cực là 40008 km. Chúng chỉ chênh nhau có 67km, bằng 0.2% so với chu vi rộng lớn của quả đất. Nghĩa là Trái đất của chúng ta rất tròn. Ta hãy cùng ngắm lại Trái đất thật xem nó tròn đến cỡ nào!

Để kết thúc, chúng ta tổng kết lại những luận điểm đã được rút ra từ bài toán:

  1. Bề mặt Trái Đất và các hành tinh phải có hình dạng sao cho tại mỗi điểm, mặt đất được nằm ngang.
  2. Phương trình của đường kinh tuyến là phương trình elip. Bán kính Trái đất tính theo xích đạo (bán trục lớn) lớn hơn bán kính Trái đất tính theo trục (bán trục bé) 1.0018 lần, nghĩa là Trái đất gần như tròn.
  3. Tâm sai của đường kinh tuyến elip e=\sqrt{\dfrac{\omega^2R^3}{GM}}, nghĩa là hành tinh nào quay càng nhanh và có khối lượng riêng càng thấp (càng lỏng lẻo) thì càng bị dẹt nhiều.

Categories: Góc nhìn vật lý

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *