Điện trường hệ điện tích điểm

Giới thiệu

Chương trình viết trên Matlab này mô phỏng điện trường bao quanh hệ nhiều điện tích điểm. Vector cường độ điện trường biểu diễn trên mạng lưới 3D các điểm trong không gian. Tại mỗi điểm như thế, vector cường độ điện trường được tính toán theo định luật Coulomb dành cho điện tích điểm, kết hợp nguyên lý chồng chất dành cho hệ nhiều điện tích điểm.

Cách sử dụng

Ta có thể thêm bớt số điện tích, cũng như thay đổi vị trí của chúng tại phần INPUT DATA như bên dưới. Việc lựa chọn tham số “streak_arrow” sẽ cho phép minh hoạ vector thường hoặc “vector cong”, giúp việc biểu diễn thêm sinh động.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
%% INPUT DATA
Q = [2 -2]*1e-9; % charges

xQ = [-1 1]; % coordinates of charges
yQ = [0 0];
zQ = [0 0];

streak_arrow = 1; % 1-MUI TEN CONG, 0-MUI TEN THANG

xmin = -2; xmax = 2; ymin = -1; ymax = 1; zmin = -1; zmax = 1;

Dưới đây là một vài kết quả mô phỏng thu được.

Hình 1: Điện trường dạng vector cong
Hình 2: Điện trường dạng vector thường 
Hình 3: Điện trường nhìn vuông góc với mặt phẳng chứa hai điện tích
Hình 4: Điện trường xung quanh hệ 3 điện tích

Nguyên lý mô phỏng

Khi điện tích điểm q_i nằm ở vị trí \vec{r_i}=\{x_i,y_i,z_i\} trong không gian, nó tạo ra tại điểm có toạ độ \vec{R}=\{X,Y,Z\} một điện trường:

\vec{E_i}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q_i}{\lvert\vec{R}-\vec{r_i}\rvert^3}\left(\vec{R}-\vec{r_i}\right).

Nhằm đơn giản hoá tính toán, ta tính độ lớn của điện trường \vec{E_i} nói trên, tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách \lvert\vec{R}-\vec{r_i}\rvert theo định luật Coulomb:

E_i=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q_i}{\Delta r^2},

trong đó:

\Delta r=\lvert\vec{R}-\vec{r_i}\rvert=\sqrt{(X-x_i)^2+(Y-y_i)^2+(Z-z_i)^2}

Sau đó lấy hình chiếu của vector lên các trục toạ độ Descartes:

\begin{aligned}E_{ix}&=E_i\cos(\widehat{\vec{E_i},Ox}),\\E_{iy}&=E_i\cos(\widehat{\vec{E_i},Oy}),\\E_{iz}&=E_i\cos(\widehat{\vec{E_i},Oz}),\end{aligned}

hay:

\begin{aligned}E_{ix}&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q_i}{\Delta r^3}(X-x_i),\\E_{iy}&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q_i}{\Delta r^3}(Y-y_i),\\E_{iz}&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q_i}{\Delta r^3}(Z-z_i).\end{aligned}\tag{1}

Nếu hệ được cấu thành từ nhiều điện tích điểm có giá trị từ q_1\rightarrow q_N thì phép tính (1) viết lại dưới dạng chồng chất:

\begin{aligned}E_{x}&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum\limits_{i=1}^N\frac{q_i}{\Delta r^3}(X-x_i),\\E_{y}&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum\limits_{i=1}^N\frac{q_i}{\Delta r^3}(Y-y_i),\\E_{z}&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum\limits_{i=1}^N\frac{q_i}{\Delta r^3}(Z-z_i).\end{aligned}

Sau cùng, nhờ chức năng của Matlab, ta có thể biểu diễn vector \vec{E}=\{Ex,Ey,Ez\} trong không gian. Thực tế, cần khai báo tập hợp các vị trí cần tính điện trường:

1
2
3
4
5
6
7
Nx = 20;
Ny = 10;
Nz = 10;
x = linspace(xmin,xmax,Nx);
y = linspace(ymin,ymax,Ny);
z = linspace(zmin,zmax,Nz);
[X,Y,Z] = meshgrid(x,y,z);

Theo code trên, chương trình sẽ tính điện trường cho 20 hàng, 10 cột và 10 lớp, tổng cộng 2000 điểm. Chỉ vài giây tính toán, máy tính có thể làm được việc mà con người phải mất nhiều phút chỉ để làm xong một phần nghìn việc ấy.

Code chương trình

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
function Electric_field_vector_Particles
% Author: Tran Hai Cat
% Lecturer in Physics, HCM University of Technology and Education
% - Dai hoc Su pham Ky thuat Tp. Ho Chi Minh
% Created: 2019.02.01
clc;
clear all;
close all;
%% INPUT DATA
Q = [2 -2]*1e-9; % charges

xQ = [-1 1]; % coordinates of charges
yQ = [0 0];
zQ = [0 0];

streak_arrow = 1; % 1-MUI TEN CONG, 0-MUI TEN THANG

xmin = -2; xmax = 2; ymin = -1; ymax = 1; zmin = -1; zmax = 1;
%% CALCULATION
N = length(Q);
Nx = 20;
Ny = 10;
Nz = 10;
x = linspace(xmin,xmax,Nx);
y = linspace(ymin,ymax,Ny);
z = linspace(zmin,zmax,Nz);
[X,Y,Z] = meshgrid(x,y,z);

ke = 9e9;
Ex = zeros(size(X));
Ey = zeros(size(Y));
Ez = zeros(size(Z));
for iN = 1:N
r = sqrt((X-xQ(iN)).^2+(Y-yQ(iN)).^2+(Z-zQ(iN)).^2);
E = ke*Q(iN)./r./r;
Ex = Ex+E./r.*(X-xQ(iN)); % x-component of vector field
Ey = Ey+E./r.*(Y-yQ(iN)); % y-component of vector field
Ez = Ez+E./r.*(Z-zQ(iN)); % z-component of vector field

condition = find(r<0.3);
Ex(condition) = 0;
Ey(condition) = 0;
Ez(condition) = 0;
end

%% FIGURES
figure('name','Electric Field Vector 3D','color','w','numbertitle','off');
if streak_arrow
streakarrow3d(X,Y,Z,Ex,Ey,Ez,2,1);
else
quiver3(X,Y,Z,Ex,Ey,Ez,'AutoScaleFactor',3);
end
hold on

% Draw charged particles:
for iN = 1:N
[x1, y1, z1] = sphere(24);
radius = 0.1;
x1 = x1(:)*radius+xQ(iN);
y1 = y1(:)*radius+yQ(iN);
z1 = z1(:)*radius+zQ(iN);
P = [x1 y1 z1];
P = unique(P,'rows');

shp = alphaShape(P,1.5);
plot(shp)
end

%% Axis properties
axis equal
axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax]);
rotate3d on

xlabel('X, m');
ylabel('Y, m');
zlabel('Z, m');
view(-20,30);
box on
grid off
set(gca,'color','w')

function hh=streakarrow3d(X,Y,Z,U,V,W,np,AC)
%% Bertrand Dano 03-09
% Copyright 1984-2009 The MathWorks, Inc.
DX=abs(X(1,1,1)-X(1,2,1)); DY=abs(Y(1,1,1)-Y(2,1,1)); DZ=abs(Z(1,1,1)-Z(1,1,2));
DD=min([DX DY DZ]);
ks=DD/100; % Size of the "dot" for the tuft graphs
np=np*10;
alpha = 3; % Size of arrow head relative to the length of the vector
beta = .15; % Width of the base of the arrow head relative to the length
XYZ=stream3(X,Y,Z,U,V,W,X,Y,Z);
Vmag=sqrt(U.^2+V.^2+W.^2);
Vmin=min(Vmag(:));Vmax=max(Vmag(:));
Vmag=Vmag(:);
cmap=colormap;
for k=1:length(XYZ)
F=XYZ(k); [L M]=size(F{1});
if L<np
F0{1}=F{1}(1:L,:);
if L==1
F1{1}=F{1}(L,:);
else
F1{1}=F{1}(L-1:L,:);
end

else
F0{1}=F{1}(1:np,:);
F1{1}=F{1}(np-1:np,:);
end
P=F1{1};
if AC==1
vcol=floor((Vmag(k)-Vmin)./(Vmax-Vmin)*64); if vcol==0; vcol=1; end
COL=[cmap(vcol,1) cmap(vcol,2) cmap(vcol,3)];
else
COL='k';
end
hh=streamline(F0);
set(hh,'color',COL,'linewidth',.5);

if L>1
x1=P(1,1); y1=P(1,2); z1=P(1,3);
x2=P(2,1); y2=P(2,2); z2=P(2,3);
u=x2-x1; v=y2-y1; w=z2-z1; uv=sqrt(u.*u + v.*v);

xa1=x2+u-alpha*(u+beta*(v+eps)); xa2=x2+u-alpha*(u-beta*(v+eps)); xa3=x2+u-alpha*u;
ya1=y2+v-alpha*(v-beta.*(u+eps)); ya2=y2+v-alpha*(v+beta.*(u+eps)); ya3=y2+v-alpha*v;
za1=z2+w-alpha*w; za2=z2+w-alpha*(w+beta.*(uv+eps)); za3=z2+w-alpha*(w-beta.*(uv+eps));

plot3([x2 xa1 xa2 x2 xa3 xa3 x2],[y2 ya1 ya2 y2 ya3 ya3 y2],[z2 za1 za1 z2 za2 za3 z2],'color',COL); hold on
end

end
axis image