Thế năng trường hấp dẫn Trái Đất

Trái đất tạo ra trong không gian xung quanh một trường hấp dẫn, khiến các vật có khối lượng khi rơi vào trường này sẽ bị hút vào. Do vậy, trường hấp dẫn cũng có thể được miêu tả như một hố thế, theo đó các vật bị cuốn hút vào trong lòng nó.

Theo lý thuyết về trường hấp dẫn xuyên tâm của một vật thể đối xứng cầu khối lượng M, một vật khối lượng m nằm cách tâm Trái đất một khoảng r sẽ có thế năng bằng:

\begin{equation}
\varphi=-G\frac{Mm}{r},
\label{thenang}
\end{equation}

trong đó G -  hằng số hấp dẫn. Hình 1 miêu tả dạng hố thế của hàm \eqref{thenang}, cấu tạo từ một hypeboloid tròn xoay, vì thế năng hấp dẫn lúc này tỉ lệ nghịch với khoảng cách đến tâm Trái đất.

Hình 1

Theo hình 2, một vật chuyển động trên quỹ đạo tròn sẽ có thế năng không đổi. Có thể tưởng tượng rằng, có một hòn bi di chuyển vòng quanh hố thế, không bị mất mát cơ năng do ma sát. Hình 3 diễn tả góc nhìn từ trên xuống của 3 quỹ đạo tròn với bán kính 3R, 5R7R, trong đó R - bán kính Trái đất.

Hình 2

Như vậy, những vật thể bay vòng quanh Trái đất thực ra vẫn chưa thoát khỏi sức hấp dẫn của Trái đất. Chúng chỉ chạy men theo thành hố thế theo chu kì khép kín, như trò mô tô bay vậy.

Hình 3

Bây giờ, ta sẽ bắn một vật từ bề mặt Trái đất theo phương tiếp tuyến:

- Nếu tốc độ bắn bằng 7.9 km/s, vật sẽ bay đúng theo đường tròn ôm sát bề mặt Trái đất và không quay trở lại. Ta gọi đó là tốc độ vũ trụ cấp một.

- Khi bắn ở tốc độ cao hơn, vật sẽ chuyển động theo đường elip, tương ứng với định luật Kepler 1.

- Do cơ năng bảo toàn, nên khi càng gần Trái đất, vật càng bị kéo xuống đáy hố và chuyển động nhanh hơn. Ngược lại, khi ra xa trên rìa cao, tốc độ vật càng chậm lại. Đó chính là định luật Kepler 2.

- Khi bắn ở những tốc độ khác nhau, tốc độ càng cao thì năng lượng càng lớn, elip sẽ càng nở rộng về kích thước.

Hình 4 và 5 vẽ ra quỹ đạo thế của vật ném từ mặt đất tương ứng với vận tốc: 8.5 km/s, 9.0 km/s, 9.5 km/s, 10.0 km/s, 10.2 km/s và 10.3 km/s.

Hình 4

 

Hình 5

Có thể thấy rằng, khi tốc độ bắn lên lớn dần, vật có xu thế dần thoát khỏi hố thế. Tính toán lý thuyết cho ra kết quả rằng, để thoát ra hẳn miệng hố nói trên, vật cần có tốc độ tối thiểu 11.2 km/s, hay còn gọi tốc độ vũ trụ cấp hai. Như vậy, tốc độ vũ trụ cấp 2 là tốc độ cần thiết để vật leo lên đến miệng hố thế hấp dẫn.

Video minh hoạ

Code chương trình

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
function Gravity_Earth
% Created by Tran Hai Cat
% 2019.03.18
clc;
clear variables
close all;

%% CONSTANTS
G = 6.67e-11; % Gravity constant
M = 5.97219e24; % Mass of Earth
R_earth = 6371e3; % Radius of Earth

%% INPUT PARAMETRS FOR USER
r = [-2*R_earth 0 0]; % Initial possition
v = [0 -7.2e3 0]; % Initial velocity
N_orbit = 1000;
dt = 100; % time interval

%% Gravitational Potential
norm_U = 2e-7;
rmin = R_earth;
rmax = 10*R_earth;
Nr = 50;
Nalpha = 50;
radius = linspace(rmin,rmax,Nr);
alpha = linspace(0,2*pi,Nalpha);
[Radius,Alpha] = meshgrid(radius,alpha);
X_matrix = Radius.*cos(Alpha);
Y_matrix = Radius.*sin(Alpha);
U_matrix = -G*M./Radius*norm_U;

d = 5;
t = 0;

U = -G*M/sqrt(r(1)^2+r(2)^2)*norm_U;
orbit_array = zeros(3,N_orbit);
orbit_array(:,end) = [r(1)/R_earth,r(2)/R_earth,r(3)/R_earth];
potential_track_array = zeros(3,N_orbit);
potential_track_array(:,end) = [r(1)/R_earth,r(2)/R_earth,U];

%% FIGURE
figure('name','Analys koefficients of Fourier series',...
'color','black','numbertitle','off')
set(gca,'color','k','xcolor','w','ycolor','w','zcolor','w')
hold on
mesh(X_matrix/R_earth,Y_matrix/R_earth,U_matrix);
view(-60,20);
axis equal
rotate3d on
xlabel('x [R_E]','fontsize',14);
ylabel('y [R_E]','fontsize',14);
zlabel('U x0.5x10^7[J]','fontsize',14);

sphere; % Draw Earth

hf_sputnik = plot3(r(1)/R_earth,r(2)/R_earth,r(3)/R_earth,...
'yo','markersize',d,'markerfacecolor','y');
% hf_orbit = plot3(orbit_array(1,:),orbit_array(2,:),orbit_array(3,:),...
% 'yo','markersize',1);
hf_U = plot3(r(1)/R_earth,r(2)/R_earth,U,...
'bo','markersize',d,'markerfacecolor','b');
hf_potential_track = plot3(potential_track_array(1,:),...
potential_track_array(2,:),potential_track_array(3,:),...
'go','markersize',1);

%% ANIMATION
while 1
t = t+dt;

R_2 = sum(r.^2);
R = sqrt(R_2);
a = -G*M/R^3*r;
v = v+a*dt;
r = r+v*dt;

U = -G*M/sqrt(r(1)^2+r(2)^2)*norm_U;

orbit_array(:,1:end-1) = orbit_array(:,2:end);
orbit_array(:,end) = r./R_earth;

potential_track_array(:,1:end-1) = potential_track_array(:,2:end);
potential_track_array(:,end) = [r(1)/R_earth,r(2)/R_earth,U];

set(hf_sputnik,...
'xdata',r(1)/R_earth,...
'ydata',r(2)/R_earth,...
'zdata',r(3)/R_earth);
% set(hf_orbit,...
% 'xdata',orbit_array(1,:),...
% 'ydata',orbit_array(2,:),...
% 'zdata',orbit_array(3,:));

set(hf_U,'xdata',r(1)/R_earth,'ydata',r(2)/R_earth,'zdata',U);
set(hf_potential_track,...
'xdata',potential_track_array(1,:),...
'ydata',potential_track_array(2,:),...
'zdata',potential_track_array(3,:));

pause(0.01);
end