Phương trình Newton

Theo định luật Newton thứ hai, gia tốc mà vật thu được tỉ lệ thuận với ngoại lực tác dụng lên nó:

\begin{equation}
a=\frac{F(x,v)}{m},
\label{eq:newton2}
\end{equation}

trong đó m - khối lượng của vật, F(x,v) - độ lớn của trường ngoại lực. Trong thực tiễn vật lý, lực tác dụng F(x,v) chỉ phụ thuộc vào vị trí hoặc vận tốc của vật. Nếu lực tác dụng bằng không, ta có trường hợp chuyển động thẳng đều. Nếu lực tác dụng có hướng và độ lớn không đổi, ta có trường hợp chuyển động có gia tốc không đổi, hay còn gọi chuyển động biến đổi đều. Trong trường hợp tổng quát, khi ngoại lực liên tục thay đổi, vật chuyển động nói chung phức tạp, với gia tốc thay đổi.

Bài toán cơ bản của động lực học Newton có dạng như sau: từ một trạng thái ban đầu xác định, cho biết trước quy luật tác dụng của ngoại lực, cần tìm trạng thái chuyển động của vật tại mọi thời điểm sau đó.

"Trạng thái" ta đề cập ở đây chính là toạ độ và vận tốc. Bài toán này hoàn toàn có thể giải được vì phương trình Newton \eqref{eq:newton2} về bản chất là phương trình vi phân

\begin{equation}
\frac{d^2x}{dt^2}=f(x,\dot{x})
\label{eq:ptviphan}
\end{equation}

với điều kiện ban đầu

\quad x(0)=x_0,\quad \dot{x}(0)=v_0,

trong đó f(x,\dot{x}) - hàm số của lực tác dụng lên một đơn vị khối lượng. Bài toán giải phương trình vi phân với điều kiện ban đầu như thế còn gọi là bài toán Cauchy. Có nhiều phương pháp để giải bài toán Cauchy. Ở đây, nhằm có cái nhìn trực quan đơn giản, chúng ta dùng phương pháp dùng chuỗi Taylor.

Ta có thể dự đoán vị trí của vật tại thời điểm cách thời điểm hiện tại một khoảng \Delta t nào đó:

\begin{equation}
x(t+\Delta t)=x(t)+\frac{\dot{x}(t)}{1!}\Delta t+\frac{\ddot{x}(t)}{2!}\Delta t^2+\frac{\dddot{x}(t)}{3!}\Delta t^3+\ldots
\label{eq:taylor}
\end{equation}

Trong công thức Taylor này ta thấy xuất hiện đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai của toạ độ theo thời gian. Đó chính là vận tốc và gia tốc:

\begin{equation}
x(t+\Delta t)=x(t)+v(t)\Delta t+\frac{1}{2}a(t)\Delta t^2+\frac{\dddot{x}(t)}{3!}\Delta t^3+\ldots
\label{eq:taylor2}
\end{equation}

Nếu vật chuyển động với gia tốc không đổi, hay a=\mathrm{const}, tất cả các đạo hàm từ bậc 3 trở đi đều trở nên bằng không:

\begin{eqnarray}
x^{(3)}(t)&=&a'(t)=0,\nonumber\\
x^{(4)}(t)&=&\left(x^{(3)}\right)'(t)=0,\nonumber\\
\cdots
\end{eqnarray}

Từ đây ta có công thức toạ độ dành cho chuyển động biến đổi đều (a=\mathrm{const}):

\begin{equation}
x(t+\Delta t)=x(t)+v(t)\Delta t+\frac{1}{2}a(t)\Delta t^2.
\label{eq:taylor3}
\end{equation}

Công thức \eqref{eq:taylor3} hoàn toàn không chứa các đạo hàm từ bậc 3 trở đi và luôn đúng với mọi khoảng thời gian \Delta t lớn tuỳ ý.

Trên thực tế phần lớn các chuyển động diễn ra trong trường lực biến đổi, dẫn đến gia tốc luôn thay đổi. Cho nên ta thường không có công thức chính xác để tiên đoán trạng thái chuyển động. Dù vậy, nếu khoảng thời gian \Delta t=dt đủ nhỏ, gia tốc sẽ chưa kịp biến đổi nhiều và có thể xem rằng vật đang chuyển động với gia tốc không đổi:

\begin{equation}
x(t+dt)\approx x(t)+v(t)dt+\frac{1}{2}a(t)dt^2.
\label{eq:taylor4}
\end{equation}

Từ công thức \eqref{eq:taylor4} ta đưa ra được thuật toán dành cho việc giải phương trình Newton như sau.

  • Từ trạng thái ban đầu với x(0)=x_0v(0)=v_0 đã biết, ta tính được lực tác dụng lên một đơn vị khối lượng f(x_0,v_0)=F(x_0,v_0)/m và đó cũng là giá trị của gia tốc: a_0=f(x_0,v_0).
  • Từ định nghĩa gia tốc, ta tính được vận tốc tại thời điểm sau đó một khoảng thời gian đủ nhỏ dt: v_1=v_0+a_0dt.
  • Theo công thức \eqref{eq:taylor4} ta cũng tính được toạ độ của vật tại thời điểm ấy: x_1=x_0+v_0dt+1/2a_0dt^2.
  • Từ đây vật đã đạt đến toạ độ mới, vận tốc mới, do đó nó chịu lực tác dụng mới và gia tốc mới: a_1=f(x_1,v_1)=F(x_1,v_1)/m. Phép tính lại quay vòng lại như cũ, lặp đi lặp lại đến bất kì thời điểm tương lai nào ta muốn.

Trong Matlab thuật toán trên thực hiện như sau:

1
2
3
4
5
6
while 1 % điều kiện
t = t+dt;
a = F(x,v)/m;
v = v+a*dt;
y = y+v*dt+0.5*a*dt.^2;
end

Ở đây F(x,v) là hàm số của trường ngoại lực tác dụng.