Hành trình Apollo

Apollo là chương trình không gian lớn của Hoa Kỳ với mục đích đưa người lên Mặt trăng. Tất nhiên tàu vũ trụ không phải cứ phóng thẳng từ Trái đất lên cung trăng ấy. Người ta đã tính toán để tìm ra đường đi tối ưu, tiết kiệm về nhiên liệu. Video sau đây trình bày kết quả mô phỏng phần chính của quỹ đạo tàu Apollo, thực hiện trên Matlab, dựa trên quan điểm chuyển động men theo hố thế.

Di chuyển tự do trong hố thế

Trường lực hấp dẫn Trái đất tạo nên một hố thế hyperbol, với thế năng tỉ lệ nghịch với khoảng cách đến tâm của nó:

\begin{equation}
\varphi=-G\frac{Mm}{r},
\label{thenang}
\end{equation}

trong đó G -  hằng số hấp dẫn. Người ta lấy vũ trụ làm gốc thế năng bằng không, cho nên miệng hố thế sẽ tiệm cận với mức không, còn hố thế trũng xuống theo chiều âm. Hình dáng của hố thế miêu tả trên hình 1, kèm theo một vài quỹ đạo của vật được ném đi từ bề mặt Trái đất.

Hình 1: Hố thế Trái đất

Quỹ đạo nhỏ nhất tương ứng với tốc độ ném v_1=\sqrt{gR}=\mathrm{7.9} km/s, vật sẽ bay đúng theo đường tròn ôm sát bề mặt Trái đất và không quay trở lại. Ta gọi đó là tốc độ vũ trụ cấp một. Khi bắn ở tốc độ cao hơn, vật sẽ chuyển động theo những đường elip. Do cơ năng bảo toàn, nên khi càng gần Trái đất, vật càng bị kéo xuống đáy hố và chuyển động nhanh hơn. Ngược lại, khi ra xa trên rìa cao, tốc độ vật càng chậm lại. Tốc độ ném ban đầu càng lớn, năng lượng của vật càng cao, elip sẽ càng nở rộng về kích thước. Tính toán chi tiết cho thấy, để vật hoàn toàn thoát ra khỏi hố, nó cần có tốc độ ban đầu ít nhất bằng:

\begin{equation}
v_2=\sqrt{2gR}=\mathrm{11.2\,km/s}.
\label{tocdovutrucap2}
\end{equation}

Đó chính là tốc độ vũ trụ cấp hai. Thiên thể khối lượng càng lớn sẽ tạo ra hố thế càng sâu, tốc độ thoát ra khỏi hố, hay tốc độ vũ trụ cấp hai sẽ càng lớn.

Tương tự, Mặt trăng cũng tạo quanh nó một hố thế, nhưng cạn hơn. Quả thực, thế gia tốc rơi tự do và bán kính Mặt trăng vào công thức \eqref{tocdovutrucap2}, sẽ thấy được rằng với tốc độ vũ trụ cấp hai đối với Mặt trăng chỉ vào khoảng 2,4 km/s.

Hình 2: Hai hố thế gần nhau

Ta hãy nhắc lại quy tắc du hành lên một thiên thể ngoài Trái đất. Đầu tiên, tàu vũ trụ cần một lực đẩy phản lực từ động cơ tên lửa để leo lên đến miệng hố thế Trái đất. Giữa khoảng không bao la của vũ trụ là nền phẳng bằng không của thế năng, tàu gần như sẽ di chuyển tự do theo quán tính. Sau đó, tàu sẽ định hướng và mon men đi vào hố của thiên thể cần hạ cánh.

Mặt trăng nằm tương đối gần Trái đất, với khoảng cách 384 nghìn km, mất chỉ hơn một giây cho ánh sáng di chuyển. Hai thiên thể này tạo nên hai hố thế nằm khá gần nhau như miêu tả trên hình 2. Ta thấy giữa hai hố thế xuất hiện một hành lang hẹp, như một thung lũng hơi trũng xuống so với mức nền. Từ đó, các nhà khoa học và kĩ sư đã đưa ra ý tưởng độc đáo, theo đó tàu Apollo được định hướng ban đầu sao cho tàu sẽ tự động men theo thung lũng này để đi vào hố thế Mặt trăng một cách tự nhiên, theo quỹ đạo hình số 8. Việc này giúp cho tàu di chuyển từ quỹ đạo Trái đất sang quỹ đạo Mặt trăng với năng lượng tiêu tốn rất nhỏ, gần như bay tự do dưới trường hấp dẫn của hai thiên thể.

Hành trình Apollo

Hình 3: Hành trình Apollo

Hành trình của Apollo 11 có thể tóm gọn như sau:

- Tên lửa Saturn V đồ sộ giúp Apollo và ba phi hành gia thoát khỏi miệng hố Trái đất.

- Apollo sau đó men theo hành lang hẹp giữa hai hố theo vòng số 8, đi vào miệng hố Mặt trăng.

- Từ miệng hố Mặt trăng, hai phi hành gia theo modul Mặt trăng tách ra khỏi modul điều khiển, hạ xuống đáy hố.

- Họ đi dạo, chụp ảnh.

- Phi hành gia dùng phần trên của modul Mặt trăng nhỏ gọn, có tên lửa đẩy loại nhỏ, đủ đưa phi hành gia lên miệng hố Mặt trăng, ráp với modul điểu khiển và trở về.

Hình 4: Quỹ đạo Apollo 8

Code chương trình Matlab

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
function Gravity_Earth_Moon
% Created by Tran Hai Cat
% 2019.03.20
clc;
clear variables
close all;

%% CONSTANTS
G = 6.67e-11; % Gravity constant
M_earth = 5.97219e24; % Mass of Earth
R_earth = 6371e3; % Radius of Earth
M_moon = 0.5*M_earth; % Mass of Moon

%% INPUT PARAMETRS
r = [-2*R_earth 0 0]; % Initial possition
v = [0 -6.996e3 0]; % Initial velocity
N_orbit = 800;
dt = 100;

%% Gravitational Potential
norm_U = 2e-7;
rmin = R_earth;
rmax = 20*R_earth;
position_moon = [15*R_earth,0,0];
Nr = 55;
Nalpha = 120;
radius = linspace(rmin,rmax,Nr);
alpha = linspace(0,2*pi,Nalpha);
[Radius,Alpha] = meshgrid(radius,alpha);
X_matrix = Radius.*cos(Alpha);
Y_matrix = Radius.*sin(Alpha);
Distance_matrix = sqrt(X_matrix.^2+Y_matrix.^2);
U_earth_matrix = -G*M_earth./Distance_matrix*norm_U;

Distance_matrix = sqrt((X_matrix-position_moon(1)*ones(size(X_matrix))).^2+...
(Y_matrix-position_moon(2)*ones(size(Y_matrix))).^2);
U_moon_matrix = -G*M_moon./Distance_matrix*norm_U;

U_matrix = U_earth_matrix+U_moon_matrix;
for j = 1:Nr
for i = 1:Nalpha
if U_matrix(i,j)<-10
U_matrix(i,j) = -10;
end
end
end

d = 5;
t = 0;

U_earth = -G*M_earth/sqrt(r(1)^2+r(2)^2)*norm_U;
U_moon = -G*M_moon/sqrt((r(1)-position_moon(1))^2+...
(r(2)-position_moon(2))^2)*norm_U;
U = U_earth+U_moon;

orbit_array = zeros(3,N_orbit);
orbit_array(:,end) = [r(1)/R_earth,r(2)/R_earth,r(3)/R_earth];
potential_track_array = zeros(3,N_orbit);
potential_track_array(:,end) = [r(1)/R_earth,r(2)/R_earth,U];

%% FIGURE
figure('name','Analys koefficients of Fourier series',...
'color','black','numbertitle','off')
set(gca,'color','k','xcolor','w','ycolor','w','zcolor','w')
hold on
mesh(X_matrix/R_earth,Y_matrix/R_earth,U_matrix);
view(-60,20);
axis equal
rotate3d on
xlabel('x [R_E]','fontsize',14);
ylabel('y [R_E]','fontsize',14);
zlabel('U x0.5x10^7[J]','fontsize',14);

% Draw Earth
sphere;
% Draw Moon
[x,y,z] = sphere(10);
x = x*0.5;
y = y*0.5;
z = z*0.5;
surf(x+position_moon(1)/R_earth,y+position_moon(2)/R_earth,z+position_moon(3)/R_earth);

hf_sputnik = plot3(r(1)/R_earth,r(2)/R_earth,r(3)/R_earth,...
'yo','markersize',d,'markerfacecolor','y');
hf_orbit = plot3(orbit_array(1,:),orbit_array(2,:),orbit_array(3,:),...
'yo','markersize',1);
hf_U = plot3(r(1)/R_earth,r(2)/R_earth,U,...
'bo','markersize',d,'markerfacecolor','b');
hf_potential_track = plot3(potential_track_array(1,:),...
potential_track_array(2,:),potential_track_array(3,:),...
'go','markersize',1);

%% ANIMATION
while 1
t = t+dt;
dis_to_earth = sqrt(r(1)^2+r(2)^2);
dis_to_moon = sqrt((r(1)-position_moon(1))^2+(r(2)-position_moon(2))^2);
a_earth = -G*M_earth/dis_to_earth^3*r;
a_moon = -G*M_moon/dis_to_moon^3*(r-position_moon);
a = a_earth+a_moon;
v = v+a*dt;
r = r+v*dt+0.5*a*dt;

U_earth = -G*M_earth/sqrt(r(1)^2+r(2)^2)*norm_U;
U_moon = -G*M_moon/sqrt((r(1)-position_moon(1))^2+...
(r(2)-position_moon(2))^2)*norm_U;
U = U_earth+U_moon;

orbit_array(:,1:end-1) = orbit_array(:,2:end);
orbit_array(:,end) = r./R_earth;

potential_track_array(:,1:end-1) = potential_track_array(:,2:end);
potential_track_array(:,end) = [r(1)/R_earth,r(2)/R_earth,U];

set(hf_sputnik,...
'xdata',r(1)/R_earth,...
'ydata',r(2)/R_earth,...
'zdata',r(3)/R_earth);
set(hf_orbit,...
'xdata',orbit_array(1,:),...
'ydata',orbit_array(2,:),...
'zdata',orbit_array(3,:));

set(hf_U,'xdata',r(1)/R_earth,'ydata',r(2)/R_earth,'zdata',U);
set(hf_potential_track,...
'xdata',potential_track_array(1,:),...
'ydata',potential_track_array(2,:),...
'zdata',potential_track_array(3,:));

pause(0.01);
end