Hình học của số phức

1 Comment

Trần Hải Cát
Bộ môn Vật lý, Khoa Khoa học ứng dụng
Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh

Có lẽ trong chúng ta, khi đọc bài này, hầu như ai cũng từng học qua số phức. Và cũng có lẽ số phức phần nào để lại những bí ẩn khó hiểu. Bài viết này ra đời với mong muốn góp phần làm sáng tỏ vấn đề số phức, giúp sinh viên các ngành kĩ thuật vận dụng tốt hơn, thấu hiểu hơn về bản chất của các biểu diễn phức.

j - "đơn vị ảo"

Số phức theo định nghĩa thông thường được biểu diễn dưới dạng z = a+jb gồm hai thành phần: phần thực aphần ảo b. “Phức” ở đây có nghĩa là sự pha trộn giữa “thực”“ảo”. j được gọi là ơn vị ảo" và có tính chất vô cùng độc đáo:

j^2 = -1.

Và mọi chuyện trở nên khó hiểu. Suy nghĩ thông thường của chúng ta đấu tranh rằng, số gì bình phương lên lại bằng -1, một số âm. Lẽ ra bình phương một số bất kì phải ra số dương chứ! Chúng ta đã chấp nhận nó như một tiên đề. Số phức đi vào tâm tưởng sinh viên như một kẻ nhiễu loạn, phá phách.

Số phức trong toán học thuần tuý được xây dựng hết sức công phu, chặt chẽ và sâu sắc. Ở đây chúng ta chỉ bàn đến một vài khía cạnh thường xuất hiện trong kỹ thuật: chuyển động quay.

j - toán tử quay

Trong bài viết này chúng ta có thể tiếp cận số phức theo hướng hình học, giúp các ứng dụng kĩ thuật có cái nhìn dễ hình dung hơn. Vấn đề bắt nguồn từ ý nghĩa hình học của kí hiệu j:

jtoán tử “quay 90 độ” áp dụng cho vector.

Cho vector (1,0), tức số 1 trên trục hoành, quay một góc 90^\circ bằng toán tử j, ta viết j1, và thu được vector (0,1), chính là số 1 trên trục tung. Giả sử cho toán tử j tác dụng hai lần lên số 1, tức j^21, bằng cách quay vector (1,0) theo góc 90^\circ hai lần, chúng ta thu được vector (-1,0), tức số -1 trên trục hoành. Đó là lý do tại sao j^2 lại bằng -1.

Hình 1

Bản chất của j không khác gì chính là phép quay quanh một trục. Nếu muốn quay một góc bất kì, ví dụ 30^\circ, ta đưa 30/90 = 1/3 vào tầm tác dụng của toán tử j và thu được j^{1/3} - chính là phép quay 30 độ. Để kiểm tra lại, ta làm phép quay 30^\circ ba lần:

\left(j^{1/3}\right)^3=j,

cho ra đúng phép quay 90 độ, phù hợp logic.

Từ đây khi biểu diễn vector z = a+jb, ta hiểu rằng vector này được cấu thành từ hai thành phần hình chiếu: thành phần a theo trục hoành, còn thành phần b bị quay 90 độ và hướng theo trục tung. Toán tử j phải là phép quay 90 độ chứ không phải góc nào khác, bởi vì có như thế ta mới làm việc với hệ trực giao (cắt nhau vuông góc), rất thuận tiện khi tính toán. Giả như j là phép quay 60 độ, ta vẫn biểu diễn được mọi số, nhưng các thành phần vector không phải trực giao nên các định lý sẽ có dạng phức tạp không cần thiết, đôi khi không thể biểu diễn. Điển hình như định lý Pythagor không thể biểu diễn một cách đơn giản r^2 = a^2+b^2 như hệ trực giao (r – chiều dài của vector z).

Toán tử j và chuyển động tròn đều

Xét một chất điểm chuyển động tròn đều với vận tốc góc \omega theo ngược chiều kim đồng hồ trên quỹ đạo tròn có tâm ở gốc toạ độ và bán kính R như hình dưới.

Hình 2

Ta có thể biểu diễn toạ độ của chất điểm theo hệ trục toạ độ Descartes:

\begin{eqnarray}
x&=&R\cos\omega t,\nonumber\\
y&=&R\sin\omega t,\nonumber
\end{eqnarray}

hay

\begin{eqnarray}
\vec{r}&=&x+jy\nonumber\\
&=&R\cos\omega t+jR\sin\omega t.
\label{eq:1a}
\end{eqnarray}

Từ môn động học chất điểm, ta biết rằng vận tốc dài của vật chuyển động tròn đều là vector có độ lớn v=\omega|\vec{r}| và hướng vuông góc với bán kính quỹ đạo như hình vẽ. Sử dụng toán tử quay 90^\circ, hay toán tử j, ta có thể biểu diễn mối liên hệ giữa vận tốc dài và vận tốc góc:

\vec{v}=j\omega\vec{r}.

Bởi vận tốc là đạo hàm của toạ độ theo thời gian:

\begin{equation}
\frac{d\vec{r}}{dt}=j\omega\vec{r}.
\label{eq:1}
\end{equation}

Phương trình \eqref{eq:1} có nghiệm là hàm mũ:

\begin{equation}
\vec{r}=Re^{j\omega t},
\label{eq:2}
\end{equation}

miêu tả chuyển động tròn đều dưới dạng số phức.

So sánh \eqref{eq:1a} và \eqref{eq:2}, ta rút ra được hệ thức:

\begin{equation}
e^{j\varphi}=\cos\varphi+j\sin\varphi,
\label{eq:3}
\end{equation}

trong đó \varphi=\omega t. Hệ thức \eqref{eq:3} còn gọi là công thức Euler, vừa được chứng minh bằng phương pháp hình học. Nếu thay \varphi=\pi ta có được đẳng thức Euler nổi tiếng

e^{j\pi}+1=0,

có tính chất hết sức đặc biệt: nó chứa số 0, đơn vị số thực 1, đơn vị "số ảo" j,  số \pi, số e và dấu đẳng thức.

Công thức \eqref{eq:2} cho chúng ta một công cụ biểu diễn số phức theo một cách thuận tiện khác:

z=Re^{j\varphi},

với R - độ dài của vector z, \varphi - góc hợp bởi vector z với trục Ox.

Lưu ý rằng bản thân toán tử j cũng có thể biểu diễn thành hàm mũ với góc quay \varphi=\pi/2:

j=e^{j\dfrac{\pi}{2}}.

j - toán tử tuyến tính

Phép quay j là một toán tử tuyến tính, có nghĩa nó mang đầy đủ các tính chất kết hợp và tính chất phân phối. Thực vậy, việc kéo dài vector z lên k lần rồi cho quay một góc 90 độ cũng tương đương với việc cho vector z quay 90 độ trước rồi sau đó mới kéo giãn ra k lần:

j(kz)=k(jz).

Mặt khác, việc cho hai vector cộng lại rồi cho vector tổng quay 90 độ cũng cho ra cùng một kết quả với việc cho mỗi vector quay riêng rẽ 90 độ rồi mới cộng chúng lại với nhau:

j(z_1+z_2)=jz_1+jz_2.

Do mang bản chất tuyến tính, toán tử j hành xử không khác gì một phép nhân. Cho nên trong các tình huống bắt gặp số phức, ta thấy j như một thành tố được nhân vào mà ta hay quen gọi một cách không có lợi là "đơn vị ảo". Chúng ta cùng kiểm tra lại toán tử quay 90 độ j khi nó tác dụng lên vector z=a+jb:

jz=j(a+jb)=-b+ja=z'.

Rõ ràng toán tử j đã quay vector z thành z', một vector có cùng độ dài nhưng lệch một góc 90 độ theo ngược chiều kim đồng hồ. Ta cũng thấy rõ điều đó khi biểu diễn tác dụng này theo hàm mũ:

jz=jRe^{j\varphi}=Re^{j(\varphi+\pi/2)}.

Nhờ tính chất tuyến tính, ta thấy phép cộng trừ hai số phức không khác gì cộng trừ hai vector:

(a_1+jb_1)\pm(a_2+jb_2)=(a_1\pm a_2)+j(b_1\pm b_2).

Trong khi đó phép nhân hai số phức chính là sự chồng chập của phép quay:

z_1z_2 = R_1e^{j\varphi_1}R_2e^{j\varphi_2}=R_1R_2e^{j(\varphi_1+\varphi_2)},

có nghĩa: tích của hai số phức có modul bằng tích các modul và có góc quay bằng tổng các góc quay. Từ đây có thể khái quát lên phép tính luỹ thừa cho số phức, theo De Moivre:

z^n=\left(Re^{j\varphi}\right)^n=R^ne^{jn\varphi},

cũng như phép khai căn:

z^{1/n}=\left(Re^{j\varphi}\right)^{1/n}=R^{1/n}e^{j\varphi/n}.

Phép khai căn của số phức mang lại vẻ đẹp thuận tiện về tính đối xứng. Căn bậc hai luôn có 2 nghiệm, căn bậc 3 luôn có 3 nghiệm, căn bậc n luôn có n nghiệm... Ví dụ ta muốn lấy căn bậc hai của 4, tức căn của vector (4,0), chỉ cần chia quỹ đạo quay của vector thành 2 nửa, một nghiệm sẽ cho vector (2,0) tức số 2, còn nghiệm kia cho ra vector (-2,0) tức -2. Thử lại, xét theo vector, (2,0) khi bình phương lên sẽ cho ra vector (4,0), vì góc quay của nó vốn bằng 0, quay thêm lần nữa cũng trùng hướng đó. Vector (-2,0) khi bình phương lên cũng vẫn cho ra vector (4,0), bởi vì (-2,0) có hướng 180 độ, bình phương lên sẽ thành 360^\circ, tức 0 độ. Nếu thử lại theo thành phần trục hoành, ta vẫn có được 2^2 = 4(-2)^2 = 4.

Nhớ lại rằng trong toán học thông thường, căn bậc hai của 4 chỉ bằng 2, trong khi đó theo định nghĩa căn của 4 phải là số nào đó bình phương lên bằng 4, lúc này cả 2 lẫn -2 đều thoả mãn. Hai nghiệm dành cho căn bậc hai là kết quả hợp lý.

Moment quay của một vector

Xét hai số phức

\begin{eqnarray}
z_1&=&a_1+jb_1,\nonumber\\
z_2&=&a_2+jb_2.\nonumber
\end{eqnarray}

Phép nhân liên hợp của hai số phức z_1z_2 được định nghĩa như sau:

\begin{eqnarray}
z_1^*z_2&=&(a_1-jb_1)(a_2+jb_2)\nonumber\\
&=&(a_1a_2+b_1b_2)+j(a_1b_2-b_1a_2),
\label{eq:nhanlienhop}
\end{eqnarray}

trong đó z_1^*=a_1-jb_1 - số phức liên hợp của z_1. Phần thực của phép nhân liên hợp \eqref{eq:nhanlienhop} được gọi là tích vô hướng của hai vector:

\begin{equation}
z_1\cdot z_2=\Re(z_1^*z_2)=a_1a_2+b_1b_2.
\end{equation}

Phần "ảo" của phép nhân liên hợp \eqref{eq:nhanlienhop} có trị số bằng độ lớn của vector tích có hướng:

\begin{equation}
|z_1\times z_2|=\Im(z_1^*z_2)=a_1b_2-b_1a_2.
\end{equation}

Chiều của vector tích có hướng z_1\times z_2 được quy ước theo trục vuông góc với mặt phẳng chứa z_1z_2 theo quy tắc xoắn ốc.

Xét vector \vec{F} nằm trên mặt phẳng xOy với các thành phần hình chiếu F_xF_y:

\vec{F}=F_x+jF_y.

Moment của vector \vec{F} là một vector hướng theo trục Oz, biểu diễn qua tích có hướng của cánh tay đòn \vec{r}\vec{F}:

\begin{equation}
|\vec{r}\times\vec{F}|=\Im(\vec{r}^*\vec{F})=xF_y-yF_x,
\label{eq:moment}
\end{equation}

trong đó \vec{r}=x+jy - toạ độ của điểm đặt vector \vec{F}. Nếu \vec{F} là lực tác dụng, công thức \eqref{eq:moment} miêu tả moment lực, nếu \vec{F} là động lượng, công thức \eqref{eq:moment} miêu tả moment động lượng... Trong vật lý, moment của một vector gắn liền với vận động quay, do đó sự có mặt của toán tử j không có gì lạ.

Toán tử j trong dao động và sóng

Trong lĩnh vực dao động và sóng, bao gồm cả dòng điện xoay chiều cũng như xử lý tín hiệu, toán tử j được áp dụng rất thành công nhờ quy sự dao động điều hoà thành hình chiếu của một chuyển động tròn. Không có gì khó hiểu khi trong các lĩnh vực này, số phức được áp dụng rộng rãi do tính chất quay của nó. Trong khi đó mọi đại lượng vật lý đều phải là số thực, thì quả thật số phức không hề đưa vào một thành phần “ảo” nào ở đây cả. Số phức lúc này chẳng qua là một vector quay đều quay trục với vận tốc mà ta gọi là tần số. Làm việc với toán tử quay thuận tiện hơn nhiều so với các phép toán đầy sin, cos của lượng giác, bởi vì phép cộng vector đơn giản hơn nhiều so với phép cộng lượng giác.

Dòng điện biến thiên điều hoà có thể diễn tả thông qua hình chiếu của chuyển động tròn đều:

I=I_0\cos\omega t=\Re\left(I_0e^{j\omega t}\right).

Trong nhiều trường hợp, người ta quy luôn đại lượng biến thiên điều hoà tương đương với phép quay đều. Khi ấy dòng điện xoay chiều nói trên viết hẳn thành:

I=I_0e^{j\omega t}.

Khi dòng này đi qua điện trở thuần R, nó tạo ra một điện áp theo định luật Ohm:

U_R=RI=RI_0e^{j\omega t}.

Khi dòng này tạo tác dụng tích điện lên tụ có điện dung C:

I=\frac{dq}{dt}=C\frac{dU_C}{dt}

và tạo nên một điện áp tức thời giữa hai bản tụ:

U_C=\frac{1}{C}\int{I\,dt}=\frac{1}{j\omega C}I_0e^{j\omega t}=-j\frac{1}{\omega C}\cdot I.

Khi dòng I nói trên đi qua một ống dây có độ tự cảm L, điện áp tức thời xuất hiện trên cuộn dây tuân theo định luật Faraday:

U_L=\frac{d\Phi}{dt}=L\frac{dI}{dt}=j\omega LI_0e^{j\omega t}=j\omega L\cdot I.

Từ trên ta thấy rằng, điện áp giữa hai đầu điện trở thuần luôn cùng pha với dòng điện. Với tụ, điện áp chậm pha hơn dòng điện 1/4 chu kỳ. Còn điện áp hai đầu cuộn cảm lại nhanh pha hơn dòng điện 1/4 chu kỳ.

Công suất tức thời là tích vô hướng của điện áp với cường độ dòng điện:

P=U\cdot I=\Re(U^*I),

trong đó U^* - số phức liên hợp của U. Áp dụng lần lượt cho các trường hợp điện trở, tụ điện và cuộn cảm:

P_R=\Re(U_R^*I)=\Re(RI_0e^{-j\omega t}I_0e^{j\omega t})=I_0^2R.

P_C=\Re(U_C^*I)=\Re(\frac{1}{j\omega C}I_0e^{-j\omega t}I_0e^{j\omega t})=0.

P_L=\Re(U_L^*I)=\Re(j\omega LI_0e^{-j\omega t}I_0e^{j\omega t})=0.

Tụ điện và cuộn cảm lý tưởng không gây hao phí công suất trên chúng.

Toán tử j và các hệ đối xứng

Định lý Cauchy dành cho hàm số phức nói rằng: nếu hàm f(z) khả vi thì tích phân của hàm đó theo một đường cong khép kín bất kì luôn bằng 0:

\oint{f(z)\,dz}=0.

Cụm câu “theo một đường khép kín” đã nói lên bản chất vận động quay của vector. Định lý này tương đồng với định lý bảo toàn cơ năng trong vật lý: công của một trường lực xuyên tâm theo một đường cong khép kín bất kì luôn bằng 0. Thực vậy, trường lực xuyên tâm thoả mãn điều kiện khả vi Cauchy-Riemann:

\begin{eqnarray}
\frac{\partial F_x}{\partial x}&=&\frac{\partial F_y}{\partial y},\nonumber\\
\frac{\partial F_x}{\partial y}&=&-\frac{\partial F_y}{\partial x}.\nonumber
\end{eqnarray}

Cũng có nghĩa rằng, công của một trường lực xuyên tâm không phụ thuộc vào đường đi, chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối. Do vậy ta nói trường vector xuyên tâm là một trường bảo toàn. Bảo toàn cơ năng là một định lý, không phải định luật vì được chứng minh hoàn toàn toán học. Chỉ có bảo toàn năng lượng mới gọi là định luật.

Phải nói rằng ở đâu có tính đối xứng tâm, đối xứng trục, hay tính tuần hoàn, ở đó có tính chất của hàm số phức. Các hàm số siêu việt xuất thân từ số phức như hàm Bessel, hàm Hankel, các hàm cầu... đều là hệ quả của tính chất quay của vector thông qua toán tử j, cho nên Bessel, Hankel, hàm cầu... ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán dao động của màng tròn, truyền nhiệt của thanh trụ tròn, lý thuyết nguyên tử khi làm việc với các moment quay... và dành cho các hệ đối xứng trục khác nữa.

Ngôn ngữ toán học của vector và số phức có sự tương hỗ trong các mô hình vật lý. Toán tử tịnh tiến làm nên vector, còn toán tử quay làm nên số phức. Do đó vector tương ứng với chuyển động tịnh tiến, còn số phức tương ứng với chuyển động quay.

Categories: Góc nhìn vật lý

One Reply to “Hình học của số phức”

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *