Hình học của số phức

1 Comment

Trần Hải Cát
Bộ môn Vật lý, Khoa Khoa học ứng dụng
Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. Hồ Chí Minh

Có lẽ trong chúng ta, khi đọc bài này, hầu như ai cũng từng học qua số phức. Và cũng có lẽ số phức phần nào để lại những bí ẩn khó hiểu. Bài viết này ra đời với mong muốn góp phần làm sáng tỏ vấn đề số phức, giúp sinh viên các ngành kĩ thuật vận dụng tốt hơn, thấu hiểu hơn về bản chất của các biểu diễn phức.

j - "đơn vị ảo"

Số phức theo định nghĩa thông thường được biểu diễn dưới dạng z = a+jb gồm hai thành phần: phần thực aphần ảo b. “Phức” ở đây có nghĩa là sự pha trộn giữa “thực”“ảo”. j được gọi là ơn vị ảo" và có tính chất vô cùng độc đáo:

j^2 = -1.

Và mọi chuyện trở nên khó hiểu. Suy nghĩ thông thường của chúng ta đấu tranh rằng, số gì bình phương lên lại bằng -1, một số âm. Lẽ ra bình phương một số bất kì phải ra số dương chứ! Chúng ta đã chấp nhận nó như một tiên đề. Số phức đi vào tâm tưởng sinh viên như một kẻ nhiễu loạn, phá phách.

Số phức trong toán học thuần tuý được xây dựng hết sức công phu, chặt chẽ và sâu sắc. Ở đây chúng ta chỉ bàn đến một vài khía cạnh thường xuất hiện trong kỹ thuật: chuyển động quay.

j - toán tử quay

Trong bài viết này chúng ta có thể tiếp cận số phức theo hướng hình học, giúp các ứng dụng kĩ thuật có cái nhìn dễ hình dung hơn. Vấn đề bắt nguồn từ ý nghĩa hình học của kí hiệu j:

jtoán tử “quay 90 độ” áp dụng cho vector.

Cho vector (1,0), tức số 1 trên trục hoành, quay một góc 90^\circ bằng toán tử j, ta viết j1, và thu được vector (0,1), chính là số 1 trên trục tung. Giả sử cho toán tử j tác dụng hai lần lên số 1, tức j^21, bằng cách quay vector (1,0) theo góc 90^\circ hai lần, chúng ta thu được vector (-1,0), tức số -1 trên trục hoành. Đó là lý do tại sao j^2 lại bằng -1.

Hình 1

Read More

Categories: Góc nhìn vật lý

Phương trình kinh tuyến

No Comments

Volgograd, 14 tháng 9 năm 2008

Tôi còn nhớ trong một giờ cơ học của giáo sư Briskin về lực hấp dẫn của Trái Đất, ông đã nói rằng: Chúng ta vừa chịu lực hấp dẫn hướng về tâm Trái Đất, vừa chịu lực ly tâm do hiệu ứng Trái Đất quay, do đó tổng hợp lực tác dụng lên chúng ta không hướng về tâm Trái Đất mà hướng về một điểm nào đó khác.

Điều đó khá dễ hiểu. Cũng chính vì lí do đó mà các phần của Trái Đất ở gần xích đạo có xu hướng bị bắn ra ngoài mạnh hơn, làm cho Trái Đất bị dẹt đi. Nhưng ông còn nói thêm rằng vì do có lực li tâm nên quả dọi, vốn hướng theo chiều của hợp lực, sẽ không hoàn toàn vuông góc với mặt đất nữa. Nói như ý của giáo sư, thì thực ra chúng ta đang đi lom khom chứ không phải đi thẳng. Theo đó các công trình nhà cửa cầu cống vốn lấy thăng bằng nhờ các dụng cụ như quả dọi hay ống nước cũng là thăng bằng cục bộ, chứ thật ra vẫn lệch một góc nhỏ so với bề mặt chung của Trái Đất. Hình vẽ sau đây sẽ diễn tả ý tưởng đó:

Hình 1

Read More

Categories: Góc nhìn vật lý

Chuyện cái gương

No Comments

Gương, đơn giản là một vật có khả năng phản chiếu tốt hình ảnh của ta. Và trên thực tế khi nhắc đến gương đa số lại nghĩ ngay đến tấm kiếng được mạ một lớp phản chiếu đằng sau nó. Còn đối với riêng tôi, bất cứ cái gì có thể soi, như một chiếc đĩa quang chẳng hạn, dù mờ hay rõ đều có thể làm gương được.

Read More

Categories: Góc nhìn vật lý

Định nghĩa, tiên đề, định luật và định lý

3 Comments

Volgograd, 23 tháng 6 năm 2008

Đến sinh viên đại học cũng rất có thể không phân biệt thế nào là định nghĩa, định luật, định lý, tiên đề. Tôi cũng để ý thấy rằng dường như trong các chương trình, từ phổ thông đến đại học, ít sách nào đề cập đến mấy khái niệm căn bản đó. Giáo viên dường như cũng quên đi việc đưa ra các khái niệm trên, còn người học được chép từ định nghĩa này đến định luật nọ, từ tiên đề này cho đến việc chứng minh định lý kia. Để rồi khi gặp những vấn đề cần động não, một bài tập nhỏ chẳng hạn, cũng chưa biết phải bắt đầu từ đâu.

Read More

Categories: Góc nhìn vật lý

Huế - Nam hay Bắc?

No Comments

Volgograd, 20 tháng 6 năm 2008

Hôm nay phiếm luận đôi chút qua đề tài: Huế mang đặc trưng phía Nam hay phía Bắc?

Nói về lịch sử trước. Thời Huế mới sát nhập vào Đại Việt thì chưa có khái niệm nam hay bắc. Nhưng từ thuở Trịnh Nguyễn phân tranh, con cháu của Nguyễn Hoàng đời đời nối nhau làm chúa, đóng đô tại Huế, Huế đã thuộc về Đàng Trong, còn Thăng Long là kinh đô Đàng Ngoài. Read More

Categories: Tản văn

Thiên văn – khoa học bị bỏ quên

No Comments

Volgograd, 08 tháng 6 năm 2008

Một trong những ấn tượng đầu tiên khi tôi đến Volga là Planetary (Планетарий), tòa nhà cổ kính trên đường Gagarin. Không biết ở Việt Nam có hay chưa chứ tôi nghe cô giáo tiếng Nga bảo, rằng Volga là một trong số không nhiều các thành phố trên thế giới có được tòa nhà này. Đó là nơi giáo viên thường dẫn học trò đến tham quan. Và nếu các bạn tôi đến thăm chơi, tôi nhất thiết phải dẫn họ đến nơi đó.

Read More

Categories: Góc nhìn vật lý