18.2 Sóng dừng

Ta khảo sát hiện tương giao thoa xảy ra khi hai sóng chạy hình sin có cùng tần số, cùng bước sóng, cùng biên độ nhưng lan truyền theo hai hướng ngược chiều nhau:

\begin{eqnarray}
y_1&=&A\sin(kx-\omega t),\nonumber\\
y_2&=&A\sin(kx+\omega t),\nonumber
\end{eqnarray}

trong đó y_1 biểu diễn sóng lan truyền theo chiều dương của x, còn y_2 biểu diễn sóng theo chiều ngược lại. Hai sóng này chồng chập lên nhau tạo nên sóng tổng hợp:

y=y_1+y_2=A\left[\sin(kx-\omega t)+\sin(kx+\omega t)\right].

Sử dụng đẳng thức lượng giác \sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b, ta có thể viết gọn thành:

\begin{equation}
y=\left[2A\sin kx\right]\cdot\cos\omega t.
\label{eq:18.1}
\end{equation}

Phương trình \eqref{eq:18.1} thể hiện một sóng dừng. Sóng dừng hình thành trên một sợi dây như trên hình 18.7 là kết quả của sự chồng chập hai sóng chạy có hướng lan truyền ngược chiều nhau.

Hình 18.7

Lưu ý rằng phương trình \eqref{eq:18.1} không chứa biểu thức (kx-\omega t) nên nó không đặc trưng cho một sóng chạy. Khi bạn quan sát một sóng dừng, bạn sẽ thấy không có sự di chuyển nào theo phương lan truyền của các sóng thành phần. Ở đây mỗi phần tử của môi trường đều dao động điều hoà với cùng tần số, thể hiện trên biểu thức \cos\omega t của \eqref{eq:18.1}. Trong khi đó biểu thức [2A\sin kx] lại trở thành biên độ dao động của các phần tử môi trường tại mỗi toạ độ x.

Phương trình \eqref{eq:18.1} cho thấy, tại những toạ độ x thoả mãn điều kiện \sin kx=0, tương đương với

kx=0,\pi,2\pi,3\pi,\ldots

biên độ dao động sẽ đạt cực tiểu. Xét đến mối liên hệ k=2\pi/\lambda, khi đó:

\begin{equation}
x=0,\frac{\lambda}{2},\lambda,\frac{3\lambda}{2},\ldots=\frac{n\lambda}{2}.\qquad n=0,1,2,3,\ldots
\label{eq:18.2}
\end{equation}

Các điểm dao động với biên độ cực tiểu này gọi là nút sóng.

Các phần tử dao động với biên độ cực đại bằng 2A nếu thoả điều kiện \sin kx=\pm 1, có nghĩa:

kx=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\ldots

tương ứng với các vị trí:

\begin{equation}
x=\frac{\lambda}{4},\frac{3\lambda}{4},\frac{5\lambda}{4}\ldots=\frac{n\lambda}{4}.\qquad n=1,3,5,\ldots
\label{eq:18.3}
\end{equation}

gọi là các bụng sóng.

Sóng dừng trên hình 18.7 có hai nút và hai bụng. Đường đậm màu sáng với chú thích 2A\sin kx thể hiện đúng một bước sóng của các sóng chạy thành phần. Từ hình này và các phương trình \eqref{eq:18.2}\eqref{eq:18.3} có thể đúc kết một vài đặc trưng quan trọng của sóng dừng:

- Khoảng cách giữa hai bụng liên tiếp bằng đúng nửa bước sóng \lambda/2.
- Khoảng cách giữa hai nút liên tiếp bằng đúng nửa bước sóng \lambda/2.
- Khoảng cách giữa nút và bụng lân cận nhau bằng một phần tư bước sóng \lambda/4.

Hình  dạng của hai sóng lan truyền ngược chiều nhau tại những thời điểm khác nhau được vẽ trên hình 18.8. Tại thời điểm t=0 (hình 18.8a), hai sóng chạy có cùng pha, khiến cho sự kết hợp trở nên cực đại. Sau 1/4 chu kì, khi t=T/4 (hình 18.8b), các sóng chạy đã di chuyển thêm một đoạn bằng 1/4 bước sóng, một hướng về bên trái, một hướng về bên phải. Lúc này mỗi phần tử của môi trường đều đang đi ngang vị trí cân bằng trong dao động điều hoà riêng của nó. Kết quả là sóng tổng hợp làm thành một đường thẳng nằm ngang. Tại thời điểm khi t=T/2 (hình 18.8c), các sóng chạy lại trở nên cùng pha, hình ảnh cực đại lại tái diễn như khi t=0, nhưng biến dạng theo chiều ngược lại. Trong sóng dừng, mỗi phần tử của môi trường dao động liên tục giữa hai rìa thái cực hình 18.8a và 18.8c.

Hình 18.8

Câu hỏi nhanh 18.2: Xem rằng sóng trên hình 18.8 là sóng trên một sợi dây không giãn. Vận tốc của mỗi phần tử cấu thành sợi dây mang giá trị dương nếu nó đang chuyển động lên trên và ngược lại.

(i) Tại thời điểm sợi dây có hình dạng như đường cong màu nâu đỏ trên hình 18.8a, vận tốc tức thời của các phần tử cấu thành sợi dây:

(a) Đều bằng không.
(b) Đều mang giá trị dương.
(c) Đều mang giá trị âm.
(d) Dương hay âm tuỳ vào mỗi phần tử riêng rẽ.

(ii) Câu hỏi tương tự khi sợi dây có hình dạng như hình 18.8b.