17.2 Vận tốc truyền âm

Hình 17.5

Ta mở rộng suy luận của phần trước để đánh giá tốc độ lan truyền của sóng âm trong chất khí. Trên hình 17.5a, ta khảo sát khối khí hình trụ nằm giữa piston và đường gạch đứt. Khối khí này nằm yên cân bằng nhờ sự tác dụng của hai lực có cùng độ lớn: áp lực từ piston từ phía bên trái và áp lực khí bên phải tạo ra. Mỗi lực này có độ lớn bằng PA, trong đó P là áp suất của khí, còn A là tiết diện ngang của ống.

Hình 17.5b mô tả hệ sau khoảng thời gian \Delta t, theo đó piston di chuyển sang phải với vận tốc không đổi v_x nhờ lực đẩy piston từ phía bên trái đã tăng lên thành (P+\Delta P)A. Lúc này mọi phần tử khí trong vùng khảo sát đều chuyển động sang trái với vận tốc v_x.

Ta cố tình chọn độ dài của vùng khí khảo sát bằng v\Delta t, với v là vận tốc truyền âm. Sau thời gian \Delta t, khí nằm bên phải nét gạch đứt vẫn đứng yên, chưa bị ảnh hưởng bởi sóng âm còn chưa vươn đến.

Phần khí khảo sát được mô tả như một hệ cô lập. Lực từ piston tạo ra một biến thiên về động lượng. Tổng hợp lực này bằng F=A\Delta P và sinh ra xung lực:

\vec{I}=\sum{\vec{F}\Delta t}=(A\Delta P\Delta t)\vec{i}.

Độ biến thiên áp suất liên quan đến độ biến thiên thể tích và modul khối:

\Delta P=-B\frac{\Delta V}{V}=-B\frac{-v_xA\Delta t}{vA\Delta t}=B\frac{v_x}{v}.

Từ đây xung lực bằng:

\begin{equation}
\vec{I}=\left(AB\frac{v_x}{v}\Delta t\right)\vec{i}.
\label{eq:17.6}
\end{equation}

Độ biến thiên động lượng của khối khí khảo sát:

\begin{equation}
\Delta\vec{p}=m\Delta\vec{v}=\rho V(v_x\vec{i}-0)=(\rho vv_xA\Delta t)\vec{i}.
\label{eq:17.7}
\end{equation}

Theo định luật Newton thứ hai viết dưới dạng xung lực:

\Delta\vec{p}=\vec{F}\Delta t.

Thế \Delta\vec{p}\vec{F} vào thu được:

\rho vv_xA\Delta t=AB\frac{v_x}{v}\Delta t.

Sau khi giản ước, ta có được biểu thức của vận tốc truyền âm:

\begin{equation}
v=\sqrt\frac{B}{\rho}.
\label{eq:17.8}
\end{equation}

Sẽ rất thú vị khi ta so sánh biểu thức này với vận tốc truyền sóng trên sợi dây: v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}} (Chương 16). Trong cả hai trường hợp, vận tốc lan truyền sóng phụ thuộc vào tính đàn hồi của môi trường (modul khối B hoặc lực căng dây T), cũng như phụ thuộc vào quán tính của vật chất môi trường (khối lượng riêng \rho hoặc khối lượng trên một đơn vị độ dài dây \mu). Vận tốc lan truyền của tất cả các sóng cơ học đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng quát:

v=\sqrt\frac{\text{elastic property}}{\text{inertial property}}.

Trong trường hợp sóng dọc lan truyền trong chất rắn, vận tốc truyền âm phụ thuộc vào suất Young và khối lượng riêng của môi trường. Bảng 17.1 đưa ra một vài giá trị của vận tốc truyền âm trong những môi trường khác nhau.

Thực tế cho thấy vận tốc truyền âm còn phụ thuộc vào nhiệt độ của môi trường, bởi nhiệt độ ảnh hưởng đến tính đàn hồi và mật độ vật chất. Với trường hợp không khí, vận tốc truyền âm phụ thuộc vào nhiệt độ theo công thức:

\begin{equation}
v=331\sqrt{1+\frac{T_C}{273}}.
\label{eq:17.9}
\end{equation}

trong đó 331 m/s là vận tốc truyền âm trong không khí ở 0^\circC, còn T_C là nhiệt độ không khí ở thang đo Celsius. Dùng công thức trên có thể tính ra được vận tốc truyền âm trong không khí ở 20^\circC xấp xỉ 343 m/s.

Con số trên cho ra một phương pháp thuận tiện giúp ước lượng khoảng cách đến một cơn giông. Đầu tiên đếm số giây kể từ khi có tia chớp đến khi nghe được tiếng sấm. Sau đó lấy con số này chia cho 3, sẽ ra được giá trị khoảng cách tính theo km, bởi 343 \mathrm{m/s}\approx\frac{1}{3} \mathrm{km}.

Nhìn vào biểu thức \eqref{eq:17.8}, ta có thể viết lại mối liên hệ (17.4) giữa độ chuyển dời và biến thiên áp suất:

\begin{equation}
\Delta P_{max}=Bs_{max}k=\rho v^2s_{max}\left(\frac{\omega}{v}\right)=\rho v\omega s_{max}.
\label{eq:17.10}
\end{equation}

Cách diễn giải này thuận tiện hơn (17.4) bởi vì số liệu về mật độ khí dễ tìm thấy hơn là modul khối.