Sự hình thành trạng thái dừng nguyên tử

Trong bài "Sóng de-Broglie với rào thế bậc thang" chúng ta đã đi đến kết luận, rằng khi năng lượng E thấp hơn chiều cao của rào thế sóng sẽ bị phản xạ toàn phần. Khi ấy sóng phản xạ sẽ giao thoa với sóng tới và hình thành sóng dừng. Bức tranh được miêu tả tại hình dưới.

Hình 1: Sóng de-Broglie phản xạ toàn phần trên rào thế bậc thang

Câu hỏi đặt ra: chuyện gì xảy ra nếu ta đặt vào bên trái cũng một rào thế như trước, đối xứng và tạo nên một hố thế như hình 2? Có thể hình dung trước cảnh tượng như sau. Thoạt tiên sóng sẽ phản xạ toàn phần trên rào thế bên phải, sóng tới bị dội ngược trên rào thế và trở thành sóng phản xạ. Tiếp theo sóng phản xạ di chuyển về bên trái với tư cách như một sóng tới, bắt gặp rào thế bên trái và cũng phản xạ toàn phần một lần nữa, hất ngược toàn bộ sóng về phía bên phải. Cứ như thế, sóng de-Broglie phản xạ qua về lặp đi lặp lại không ngừng nghỉ. Nhưng mọi chuyện không dừng ở đó.

Hình 2: Hố thế vuông cấu tạo từ hai rào thế đối xứng

Sóng de Broglie di chuyển trong hố thế tương đương với một sóng hình sin:

\begin{equation}
\psi_p(x,t)=Ce^{i(\frac{p}{\hbar}x-\frac{E}{\hbar}t)},
\label{eq:de_Broglie}
\end{equation}

với pE lần lượt là xung lượng và động năng của hạt. Giữa xung lượng p và bước sóng có liên hệ:

\lambda=\frac{2\pi\hbar}{p}.

Mặt khác giữa xung lượng và động năng lại có mối liên kết:

E=\frac{p^2}{2m}.

Từ đó cho thấy, bước sóng \lambda hoàn toàn phụ thuộc vào động năng của hạt:

\lambda=\frac{2\pi\hbar}{\sqrt{2mE}}.

Như vậy khi năng lượng thay đổi, bước sóng de-Broglie cũng sẽ thay đổi. Năng lượng E càng cao, bước sóng \lambda càng dài. Khi thay đổi năng lượng tại nhiều mức giá trị khác nhau, ta quan sát được bức tranh giao thoa như video dưới:

Như quan sát trên, ta thấy tại phần lớn các mức năng lượng, sóng dừng do phản xạ bên trái không trùng với sóng dừng do phản xạ bên phải. Trạng thái sóng hết sức hỗn loạn, không ổn định. Nhưng nếu hạt có một năng lượng xác định nào đó, sao cho bước sóng của nó có độ dài thích hợp, các lần phản xạ qua về giữa hai bức tường sẽ cho ra bức tranh giao thoa tổng thể hài hoà. Khi đó sóng đã tuyệt đối "dừng". Ta gọi đây là trạng thái dừng của hạt. Nó gắn liền với sóng dừng và một mức năng lượng xác định (hình 3).

Hình 3

Trên hình 4 chỉ ra các mức năng lượng có khả năng tạo nên trạng thái dừng cho vi hạt. Lưu ý rằng, ở trạng thái tương ứng với mức năng lượng toàn phần thấp nhất, năng lượng ấy không phải bằng không. Điều này khác với hạt trong hố thế cổ điển, khi mức năng lượng thấp nhất phải nằm ngang đáy hố.

Hình 4

Nếu hạt có năng lượng cao hơn miệng hố, nó sẽ thoát ra ngoài (hình 5). Nhưng khác với kiểu hạt cổ điển vốn sẽ bay toàn bộ về một hướng nào đó, hạt theo quan điểm cơ học lượng tử lại giống như một đám mây mù, nó bị loang ra hai bên do khi va chạm với các barrier, chỉ một phần sóng chạy ra ngoài, phần còn lại phản xạ. Tương tự như thế, phần phản xạ ấy lại tràn qua phía bờ bên kia làm mất mát thêm phần nữa, một tỉ lệ trong số đó lại phản xạ quay trở lại hố. Cứ thế và cứ thế, "đám mây" hạt sẽ dần tản mát đi và biến mất ra xung quanh.

Hình 5