Sóng de-Broglie

Sóng vật chất

Vào năm 1924, nhà vật lý người Pháp Louis de Broglie (phát âm /dəˈbrɔɪ/) đã đưa ra một giả thuyết về lưỡng tính sóng hạt. Từ suy nghĩ cho rằng các lượng tử ánh sáng, hay photon, vừa mang tính chất sóng, vừa mang tính chất hạt, de Broglie cho rằng các hạt thông thường cũng mang tính chất sóng.

Theo lý thuyết de Broglie, một chùm các hạt tự do, chuyển động cùng hướng với cùng một vận tốc sẽ hoàn toàn tương đương với một sóng hình sin:

\psi_p(x,t)=A\cos(kx-\omega t),

hay thuận tiện hơn viết lại thành dạng phức:

\begin{equation}
\psi_p(x,t)=Ce^{i(kx-\omega t)},
\label{eq:de_Broglie1}
\end{equation}

với số sóng k và tần số \omega có mối liên hệ trực tiếp với xung lượng và năng lượng:

\begin{equation}
k=\frac{p}{\hbar},\qquad\omega=\frac{E}{\hbar},
\label{eq:k_omega}
\end{equation}

trong đó \hbar\approx 1.054\cdot 10^{-34}\mathrm{J\cdot s} - hằng số Planck. Từ đây \eqref{eq:de_Broglie1} biểu diễn dưới dạng:

\begin{equation}
\psi_p(x,t)=Ce^{i(\frac{p}{\hbar}x-\frac{E}{\hbar}t)}.
\label{eq:de_Broglie}
\end{equation}

Hàm sóng \eqref{eq:de_Broglie} của chùm hạt tự do có xung lượng p và năng lượng E xác định như thế được gọi là sóng de-Broglie. Bản thân kí hiệu p trong \psi_p hàm ý rằng, sóng de-Broglie tương ứng với hạt mang xung lượng xác định. Như vậy, sóng de-Broglie có các đặc điểm:

- Sóng de-Broglie là một sóng điều hoà hình sin, có bước sóng và tần số liên hệ với xung lượng và năng lượng qua hệ thức \eqref{eq:k_omega}.

- Hướng lan truyền của sóng cũng chính là hướng chuyển động của chùm hạt.

- Sóng de-Broglie đặc trưng cho sự xác định của xung lượng và năng lượng, có nghĩa tất cả các hạt đều có cùng một giá trị xung lượng và năng lượng.

Sóng de-Broglie

Ý nghĩa của hàm sóng

Khi liên kết chuyển động của vật chất với một sóng \psi(x,t) tương ứng, ta cần giải thích ý nghĩa cho hàm sóng này. Qua nhiều nghiên cứu, các nhà vật lý đã đi đến hai ý tưởng. Ý thứ nhất cho rằng hàm sóng đặc trưng cho xác suất tìm thấy hạt tại một điểm trong không gian. Ý khác cho rằng bản thân hạt đã là một sóng, vậy hàm sóng đặc trưng cho chính mật độ của "đám mây" hạt. Chúng ta sẽ đi theo hướng thứ hai này.

Trong cơ học lượng tử, mật độ đám mây hạt định nghĩa qua bình phương modul của hàm sóng:

\begin{equation}
P=|\psi|^2.
\label{modul}
\end{equation}

Mật độ vi hạt trong công thức \eqref{modul} được tính nhờ phép nhân liên hợp của \psi với chính nó. Nhắc lại rằng, phép nhân liên hợp giữa hai số phức:

\begin{eqnarray}
z_1&=&a_1+ib_1,\nonumber\\
z_2&=&a_2+ib_2.\nonumber
\end{eqnarray}

được định nghĩa như sau:

\begin{eqnarray}
z_1^*z_2&=&(a_1-ib_1)(a_2+ib_2)\nonumber\\
&=&(a_1a_2+b_1b_2)+i(a_1b_2-b_1a_2),\nonumber
\label{eq:nhanlienhop}
\end{eqnarray}

trong đó z_1^*=a_1-jb_1 - số phức liên hợp của z_1. Nếu z_1=z_2=z=a+ib, tích của phép nhân liên hợp sẽ chỉ còn lại phần thực:

z^*z=a^2+b^2=|z|^2.

Như vậy, mật độ của hạt được tính bằng cách nhân hàm liên hợp \psi^* với chính hàm \psi:

\begin{equation}
P=\psi^*\psi.
\label{matdo}
\end{equation}

Cách tính mật độ theo công thức \eqref{matdo} tỏ ra thuận tiện hơn nhiều so với tính modul rồi bình phương lên như công thức \eqref{modul}, bởi hàm sóng nói chung là phức.

Mật độ vi hạt trong sóng de-Broglie

Sóng de-Broglie tương ứng với một chùm hạt tự do, chuyển động cùng hướng với cùng một vận tốc. Do đó mật độ vi hạt tại mọi điểm trong không gian phải như nhau. Thực vậy, tính mật độ theo công thức \eqref{matdo}:

\begin{eqnarray}
P&=&\psi_p^*\psi_p=Ce^{-i(\frac{p}{\hbar}x-\frac{E}{\hbar}t)}Ce^{i(\frac{p}{\hbar}x-\frac{E}{\hbar}t)}\nonumber\\
&=&C^2=\mathrm{const}.
\label{matdochumhattudo}
\end{eqnarray}

Hàm sóng de-Broglie \psi_p của chùm hạt tự do lấy từ công thức \eqref{eq:de_Broglie}. Rõ ràng về mặt toán học, hàm de-Broglie thoả mãn tính đồng nhất của chùm hạt.