Phương trình Schrodinger

Trong cơ học lượng tử, trạng thái của hạt được miêu tả qua hàm sóng \psi(x,t) luôn biến chuyển theo thời gian. Để tiên đoán trạng thái tương lai, ta cũng cần một phương trình cơ bản, tương tự như phương trình Newton trong cơ học cổ điển.

Trước khi đưa ra dạng của phương trình cơ bản, ta cần biết rằng hàm sóng de-Broglie nhất định phải là nghiệm phương trình này, bởi lẽ sóng de-Broglie tự thân nó có thể chạy mà chẳng cần đến một tiên đoán nào cả.

Sóng de-Broglie đặc trưng cho chùm hạt tự do có dạng:

\begin{equation}
\psi_p(x,t)=Ce^{i(\frac{p}{\hbar}x-\frac{E}{\hbar}t)}.
\label{eq:de_Broglie}
\end{equation}

với p - xung lượng, E - động năng, \hbar - hằng số Planck. Giữa xung lượng và năng lượng lại có mối liên hệ:

\begin{equation}
E=\frac{p^2}{2m}.
\label{eq:lienhe}
\end{equation}

Ep^2 có thể rút ra bằng phép đạo hàm sóng de-Broglie \eqref{eq:de_Broglie} theo thời gian và toạ độ:

\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)=-i\frac{E}{\hbar}\psi(x,t),
\label{energy}
\end{equation}

\begin{equation}
\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x,t)=-\frac{p^2}{\hbar^2}\psi(x,t).
\label{momentum}
\end{equation}

Kết hợp \eqref{eq:lienhe}, \eqref{energy} và \eqref{momentum} thu được phương trình:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x,t).

Trong trường hợp tổng quát khi hạt chuyển động trong trường thế U(x):

\begin{equation}
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)=\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U(x)\right]\psi(x,t).
\label{eq:schrodinger}
\end{equation}

Vế trái của phương trình \eqref{eq:schrodinger} chứa đạo hàm của trạng thái theo thời gian, có nghĩa rằng, từ trạng thái \psi(x,t) của hiện tại có thể dự đoán trạng thái tại mọi thời điểm sau đó thông qua việc giải phương trình vi phân.

Phương trình \eqref{eq:schrodinger} do Schrodinger đề xuất vào năm 1926, đóng vai trò chủ đạo trong cơ học lượng tử. Tuy vừa được suy ra theo logic từ tính chất mặc nhiên của sóng de-Broglie, nhưng phương trình Schrodinger được xem như một tiên đề, không chứng minh, xem như đúng với mọi loại hàm sóng \psi(x,t). Thực nghiệm đã thừa nhận tính đúng đắn của phương trình Schrodinger trong cơ học lượng tử.