Moment động lượng

I. Toán tử moment động lượng

Toán tử xung lượng \hat{p}=-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial x} là hệ quả của lý thuyết de-Broglie về lưỡng tính sóng hạt, gắn liền với sóng de-Broglie. Toán tử động năng \hat{T}=-\dfrac{\hbar}{2m}\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} là hệ quả của phương trình Schrodinger. Giữa hai toán tử này lại có mối liên hệ:

\hat{T}=\frac{\hat{p}^2}{2m},

có hình ảnh rất tương tự với mối quan hệ cổ điển:

T=\frac{p^2}{2m}.

Điều đó khiến các nhà vật lý nghĩ đến sự mở rộng cho việc định nghĩa các đại lượng mới. Moment động lượng cũng nằm trong số đó.

Toán tử moment động lượng được định nghĩa như sau:

\hat{M}=[\vec{r}\times\hat{p}]=\left[\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x&y&z\\\hat{p_x}&\hat{p_y}&\hat{p_z}\end{array}\right]

với

\hat{p_x}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x},\qquad\hat{p_y}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial y},\qquad\hat{p_z}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial z}.

Ta có khai triển theo thành phần:

\begin{cases}
\hat{M_x}=i\hbar\left(z\dfrac{\partial}{\partial y}-y\dfrac{\partial}{\partial z}\right),\\
\hat{M_y}=i\hbar\left(x\dfrac{\partial}{\partial z}-z\dfrac{\partial}{\partial x}\right),\\
\hat{M_z}=i\hbar\left(y\dfrac{\partial}{\partial x}-x\dfrac{\partial}{\partial y}\right).
\end{cases}

Toán tử bình phương moment động lượng định nghĩa qua hệ thức:

\hat{M^2}=\hat{M_x^2}+\hat{M_y^2}+\hat{M_z^2}=-\hbar\left[\left(z\dfrac{\partial}{\partial y}-y\dfrac{\partial}{\partial z}\right)+\left(x\dfrac{\partial}{\partial z}-z\dfrac{\partial}{\partial x}\right)+\left(y\dfrac{\partial}{\partial x}-x\dfrac{\partial}{\partial y}\right)\right].

Trên thực tế, biểu diễn trong hệ toạ độ cầu mang lại nhiều lợi ích thiết thực:

\begin{equation}
\begin{cases}
\hat{M_x}=i\hbar\left(\sin\varphi\dfrac{\partial}{\partial\vartheta}+\mathrm{ctg}\vartheta\cos\varphi\dfrac{\partial}{\partial\varphi}\right),\\
\hat{M_y}=-i\hbar\left(\cos\varphi\dfrac{\partial}{\partial\vartheta}-\mathrm{ctg}\vartheta\sin\varphi\dfrac{\partial}{\partial\varphi}\right),\\
\hat{M_z}=-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\varphi}.
\end{cases}
\end{equation}

\begin{equation}
\hat{M^2}=-\hbar^2\left[\dfrac{1}{\sin\vartheta}\dfrac{\partial}{\partial\vartheta}\left(\sin\vartheta\dfrac{\partial}{\partial\vartheta}\right)+\dfrac{1}{\sin^2\vartheta}\dfrac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right].
\end{equation}

Hệ toạ độ cầu với khoảng cách r, góc cực \vartheta và góc phương vị \varphi

 

 

II. Moment động lượng đối với trục quay

Toán tử \hat{M^2} nói về moment động lượng toàn phần đối với một điểm làm mốc. Mục này ta tìm hiểu về giá trị của moment động lượng đối với trục quay bất kì nào đó. Không mất tính tổng quát, ta có thể gán trục quay cần tính moment động lượng làm trục z, vì đối với trục này biểu thức của moment động lượng có dạng đơn giản nhất:

\begin{equation}
\hat{M_z}=-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\varphi}.
\end{equation}

Ta sẽ đi tìm hàm sóng tương ứng với trạng thái, khi hạt có moment động lượng hoàn toàn xác định, bằng đúng M_z. Theo tính chất của hàm riêng và giá trị riêng:

\hat{M_z}\Psi(r,\vartheta,\varphi,t)=M_z\Psi(r,\vartheta,\varphi,t),

hay:

\begin{equation}
-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial\varphi}\Psi(r,\vartheta,\varphi,t)=M_z\Psi(r,\vartheta,\varphi,t).
\label{eq:hamrieng_tririeng_M_z}
\end{equation}

Phương trình \eqref{eq:hamrieng_tririeng_M_z} có nghiệm dễ thấy:

\begin{equation}
\Psi(r,\vartheta,\varphi,t)=\Psi_{r,\vartheta,t}(r,\vartheta,t)e^{i\frac{M_z}{\hbar}\varphi}.
\label{eq:hamrieng_M_z}
\end{equation}

Biểu thức \Psi_{r,\vartheta,t}(r,\vartheta,t) ở đây như một hệ số nhân vào, không phụ thuộc vào \varphi. Theo dạng hàm \eqref{eq:hamrieng_M_z} thu được, đám mây hạt muốn có moment động lượng xác định theo trục z, nó phải quay quanh trục z. Để hiểu rõ, cần đọc bài "Ý nghĩa toán tử quay của kí hiệu i".

Nhìn chung khi đám mây hạt quay quanh trục z, nó có thể mang moment động lượng M_z với giá trị bất kì. Hạt lúc này trông như một con quay, sóng chạy vòng quanh tự giao thoa hỗn loạn. Tuy nhiên, chúng ta lại quan tâm đến những trạng thái dừng, khi năng lượng của hạt có mức xác định. Sóng phải có dạng sao cho khi chạy quanh z, sự giao thoa cho ra một sóng dừng.

Sóng dừng chỉ xuất hiện khi đảm bảo điều kiện:

e^{i\frac{M_z}{\hbar}\varphi}=e^{i\frac{M_z}{\hbar}\left(\varphi+m2\pi\right)},\qquad m=0,\pm 1,\pm 2\ldots

Điều đó chỉ có được khi moment động lượng M_z là bội số nguyên của hằng số Planck:

\begin{equation}
M_z=m\hbar.
\label{eq:M_z_giatri}
\end{equation}

Thực vây:

e^{i\frac{M_z}{\hbar}\left(\varphi+m2\pi\right)}=e^{im\left(\varphi+m2\pi\right)}=e^{im\varphi+im2\pi}=e^{im\varphi}=e^{i\frac{M_z}{\hbar}\varphi}.

Như vậy hạt có moment động lượng hoàn toàn xác định theo trục z, lại vừa có mức năng lượng xác định, phải là một sóng dừng có dạng:

\begin{equation}
\Psi(r,\vartheta,\varphi,t)=\Psi_{r,\vartheta}(r,\vartheta)e^{im\varphi}\cdot e^{-i\frac{E}{\hbar}t},\qquad m=0,\pm 1,\pm 2\ldots
\label{eq:hamrieng_M_z_full}
\end{equation}

Và giá trị của moment động lượng bị lượng tử hoá theo \eqref{eq:M_z_giatri}. Sự lượng tử hoá này có nguyên nhân bản chất do sự giới hạn của góc quay: góc quay chỉ lặp đi lặp lại trong không gian từ 0\rightarrow 2\pi. Do đó ta còn gọi đây là sự lượng tử hoá không gian.

 

 

Mô hình so sánh với dao động màng rung

Trạng thái dừng có moment động lượng M_z=0 có thể hình dung như một sóng dừng hoàn toàn đối xứng quanh trục z. Lúc này hạt không hề quay, nên nó có moment động lượng bằng không. Khác với thuyết nguyên tử Bohr, theo đó hạt luôn phải quay quanh hạt nhân, nên moment động lượng tối thiểu phải bằng 1\hbar. Cơ học lượng tử cho phép trạng thái không có moment động lượng, hạt không cần quay nhưng vẫn không bị rơi vào hạt nhân, đơn giản vì hạt không phải là chất điểm, mà là một đám mây hạt vận động như sóng.

Sóng dừng với m=0

Trạng thái dừng có moment động lượng M_z=1\hbar có thể hình dung như một sóng dừng với 2 bụng sóng.

Sóng dừng với m=\pm 1

Trạng thái dừng có moment động lượng M_z=2\hbar có thể hình dung như một sóng dừng với 4 bụng sóng.

Sóng dừng với m=\pm 2

Trạng thái dừng có moment động lượng M_z=3\hbar có thể hình dung như một sóng dừng với 6 bụng sóng.

Sóng dừng với m=\pm 3

 

 

III. Moment động lượng toàn phần

Khi hạt có moment động lượng M_z xác định theo trục z, nó phải quay quanh z. Đám mây hạt không thể vừa quay quanh z, vừa quay quanh trục x cũng như y. Nói cách khác hạt không thể có moment động lượng M_xM_y xác định. Ta không thể xác định đồng thời giá trị các thành phần moment động lượng toàn phần M theo cả ba trục. Do vậy, hướng của moment động lượng toàn phần hoàn toàn bất định. Trong mục này ta đánh giá chỉ về độ lớn của nó.

Xét một hạt có năng lượng E hoàn toàn xác định, có moment động lượng M_z hoàn toàn xác định, với hàm sóng có dạng \eqref{eq:hamrieng_M_z_full}:

\Psi(r,\vartheta,\varphi,t)=\Psi_{r,\vartheta}(r,\vartheta)e^{im\varphi}\cdot e^{-i\frac{E}{\hbar}t},\qquad m=0,\pm 1,\pm 2\ldots

Nếu hạt có moment động lượng toàn phần hoàn toàn xác định, có giá trị đúng bằng M, hàm sóng phải là hàm riêng của phương trình:

\hat{M^2}\Psi(r,\vartheta,\varphi,t)=M^2\Psi(r,\vartheta,\varphi,t),

hay:

-\hbar^2\left[\dfrac{1}{\sin\vartheta}\dfrac{\partial}{\partial\vartheta}\left(\sin\vartheta\dfrac{\partial}{\partial\vartheta}\right)+\dfrac{1}{\sin^2\vartheta}\dfrac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right]\left[\Psi_{r,\vartheta}(r,\vartheta)e^{im\varphi}\cdot e^{-i\frac{E}{\hbar}t}\right]=M^2\Psi_{r,\vartheta}(r,\vartheta)e^{im\varphi}\cdot e^{-i\frac{E}{\hbar}t}.

Qua chút biến đổi đạo hàm thu được:

\dfrac{1}{\sin\vartheta}\dfrac{\partial}{\partial\vartheta}\left(\sin\vartheta\dfrac{\partial}{\partial\vartheta}\right)\left[\Psi_{r,\vartheta}(r,\vartheta)e^{im\varphi}\right]-\dfrac{m^2}{\sin^2\vartheta}\Psi_{r,\vartheta}(r,\vartheta)e^{im\varphi}=-\frac{M^2}{\hbar^2}\Psi_{r,\vartheta}(r,\vartheta)e^{im\varphi}.

Bây giờ phương trình không còn chứa đạo hàm theo \varphi nên có thể lược bớt phần e^{im\varphi}:

\dfrac{1}{\sin\vartheta}\dfrac{\partial}{\partial\vartheta}\left(\sin\vartheta\dfrac{\partial}{\partial\vartheta}\right)\Psi_{r,\vartheta}(r,\vartheta)-\dfrac{m^2}{\sin^2\vartheta}\Psi_{r,\vartheta}(r,\vartheta)=-\frac{M^2}{\hbar^2}\Psi_{r,\vartheta}(r,\vartheta).

Phương trình cũng không chứa đạo hàm theo r, nên ta sẽ tìm hàm \Psi_{r,\vartheta}(r,\vartheta) dưới dạng:

\Psi_{r,\vartheta}(r,\vartheta)=R(r)\Theta(\vartheta),

theo đó hàm R(r) chỉ chứa biến r, còn hàm \Theta(\vartheta) chỉ chứa biến \vartheta. R(r) có thể là một hàm tuỳ ý, còn \Theta(\vartheta) là nghiệm của phương trình:

\begin{equation}
\dfrac{1}{\sin\vartheta}\dfrac{\partial}{\partial\vartheta}\left(\sin\vartheta\dfrac{\partial}{\partial\vartheta}\right)\Theta(\vartheta)-\dfrac{m^2}{\sin^2\vartheta}\Theta(\vartheta)=-\frac{M^2}{\hbar^2}\Theta(\vartheta).
\label{eq:eq:Theta_hamrieng}
\end{equation}

hay viết dưới dạng thực hành:

\begin{equation}
\Theta''(\vartheta)=-\frac{1}{\tan\vartheta}\Theta'(\vartheta)-\left(\frac{M^2}{\hbar^2}-\dfrac{m^2}{\sin^2\vartheta}\right)\Theta(\vartheta)
\label{eq:Theta_hamrieng_thuchanh}
\end{equation}

Giải hàm \Theta(\vartheta) trên máy tính

Vì đám mây hạt sẽ quay quanh trục z nên hàm \Theta(\vartheta) phải có dạng sao cho trong phép quay đó, sóng phải có dạng cong trơn liên tục theo tự nhiên. Có hai trường hợp xảy ra: m=0m\neq 0.

- Nếu m=0, đám mây hạt thực tế không quay và có dạng đồng nhất theo mọi hướng \varphi. Hàm \Theta(\vartheta) phải bắt đầu tại một điểm nào đó nằm ngay trên trục z theo hướng nằm ngang và kết thúc tại \vartheta=\pi cũng theo phương ngang. Điều này tương đương với điều kiện biên \Theta'(0)=0\Theta'(\pi)=0.

- Nếu m\neq 0, hàm \Theta(\vartheta) phải bắt đầu tại gốc toạ độ 0 theo hướng thẳng đứng lên trên và kết thúc cũng tại gốc toạ độ theo hướng đâm từ dưới lên. Điều này tương đương với điều kiện biên \Theta'(0)\approx+\infty\Theta'(\pi)\approx+\infty.

Điều kiện biên của hàm \Theta(\vartheta)

Bài toán đặt ra cho chúng ta là: Cần chọn giá trị của moment động lượng toàn phần M bằng bao nhiêu để những điều kiện biên nói trên được thoả mãn? Để trả lời câu hỏi này, cần thử nghiệm giải phương trình \eqref{eq:eq:Theta_hamrieng} hay \eqref{eq:Theta_hamrieng_thuchanh} với nhiều giá trị M khác nhau.

Phương trình \eqref{eq:Theta_hamrieng_thuchanh} trình bày trên Matlab theo code:

1
2
3
4
5
6
function dy = theta_diff_fun(theta,y)
%% Theta Differential Equation
global h M m
dy = zeros(2,1);
dy(1) = y(2);
dy(2) = -y(2)./tan(theta)-(M^2/h^2-m^2./(sin(theta)).^2).*y(1);

Phép giải tiến hành qua lệnh:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
% Initial condition:
Theta0 = 1;
if m == 0
Theta10 = 1;
else
Theta10 = 1e-5;
end
% Solve differential equation:
[theta,Theta_Thetap] =...
ode45(@theta_diff_fun,linspace(0.005,pi-0.005,500),[Theta0 Theta10]);
Theta_fun = Theta_Thetap(:,1);

Hoá ra, chỉ tồn tại một vài giá trị của moment động lượng toàn phần M giúp thoả mãn điều kiện biên:

\begin{equation}
M=\hbar\sqrt{l(l+1)},\qquad l=0,1,2,\ldots
\end{equation}

Hơn nữa, l phải có giá trị lớn hơn m. Như vậy với mỗi số nguyên l\geqslant 0 cho trước, chỉ tồn tại những số nguyên:

m=-l,(-l+1),\ldots 0,1,\ldots (l-1),l

phương trình \eqref{eq:Theta_hamrieng_thuchanh} mới có nghiệm. Những hình dưới đây thể hiện kết quả tính toán cho hàm \Theta(\vartheta) với một vài giá trị nhỏ nhất của lm. Đường liền nét biểu thị cho giá trị dương của hàm, còn đường nét đứt thể hiện giá trị âm.

Kết quả tính toán hàm \Theta(\vartheta) với l=0
Kết quả tính toán hàm \Theta(\vartheta) với l=1
Kết quả tính toán hàm \Theta(\vartheta) với l=2
Kết quả tính toán hàm \Theta(\vartheta) với l=3
Nhận định chung

Như vậy, hạt có năng lượng E, moment động lượng toàn phần M cũng như moment động lượng M_z hoàn toàn xác định sẽ có hàm sóng dạng:

\begin{equation}
\Psi(r,\vartheta,\varphi,t)=R(r)\Theta_{lm}(\vartheta)e^{im\varphi}\cdot e^{-i\frac{E}{\hbar}t}.
\label{eq:M_Mz}
\end{equation}

Trong đó m là một số nguyên. Hàm \Theta_{lm}(\vartheta) là nghiệm của phương trình \eqref{eq:Theta_hamrieng_thuchanh} vừa giải ở trên, phụ thuộc vào hai số nguyên lm. Còn hàm R(r) phụ thuộc vào dạng hố thế mà hạt rơi vào.

Moment động lượng toàn phần có giá trị bằng:

M=\hbar\sqrt{l(l+1)}.

Moment động lượng theo một trục z nào đó bằng:

M_z=m\hbar.

Nếu cho trước số nguyên l\geqslant 0, số nguyên m sẽ có độ lớn không vượt quá l:

m=-l,(-l+1),\ldots 0,1,\ldots (l-1),l.

 

Phép quay của hàm \Theta_{lm}(\vartheta) tạo nên hàm cầu

IV. Hàm cầu

Nhìn chung đám mây hạt quay đều quanh trục z, thể hiện ở thành tố e^{im\varphi} chứa trong hàm sóng. Để thu được hình ảnh quay của đám mây hạt, ta chỉ cần cho hàm \Theta_{lm}(\vartheta) vừa tính được ở trên quay quanh trục z, có tính đến bụng sóng và nút sóng do phép quay e^{im\varphi} tạo ra. Phép quay này tương đương với hàm:

\begin{equation}
Y_{lm}(\vartheta,\varphi)=\Theta_{lm}(\vartheta)e^{im\varphi}
\label{eq:hamcau}
\end{equation}

và ta gọi là hàm cầu. Trong tính toán, hàm cầu thu được qua phần thực của \eqref{eq:hamcau}:

Y_{lm}(\vartheta,\varphi)=\Theta_{lm}(\vartheta)\cos(m\varphi).

Hàm sóng đầy đủ của hạt có thể trình bày lại theo công thức:

\begin{equation}
\Psi(r,\vartheta,\varphi,t)=R(r)Y_{lm}(\vartheta,\varphi)\cdot e^{-i\frac{E}{\hbar}t}.
\label{eq:R_Y}
\end{equation}

Video dưới đây trình bày tổng quan kết quả tính toán của hàm cầu với nhiều giá trị l,m khác nhau. Những vùng màu xanh lá thể hiện phần âm của hàm cầu, tương ứng với pha dao động ngược với những phần còn lại. Thực sự hàm cầu Y_{lm}(\vartheta,\varphi) thể hiện hình ảnh của vi hạt đang quay quanh một trục khi R(r)=1.

 

 

 

 

Code chương trình Matlab hoàn chỉnh

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
function Spherical_Harmonic_Numberic_Calculation
% Created by Tran Hai Cat
% 2019.04.30
clc;
clear variables
close all

global h M m
%% CONSTANTS
h = 1.054e-34;

%% INPUT PARAMETRS
l = 2;
m = 0;

M = h*sqrt(l*(l+1));

%% SOLVE DIFFERENTIAL EQUATION
% Initial condition:
if m == 0
Theta0 = 1;
Theta10 = 1e-5;
else
Theta0 = 1;
Theta10 = 1e-5;
end
% Solve differential equation:
[theta,Theta_Thetap] =...
ode45(@theta_diff_fun,...
linspace(0.005,pi-0.05,500),...
[Theta0 Theta10]);
Theta_fun = Theta_Thetap(:,1);

%% CALCULATION FOR THETA FUNCTION
Theta_fun_plus = zeros(size(Theta_fun));
Theta_fun_minus = zeros(size(Theta_fun));
for i = 1:length(theta)
if Theta_fun(i)>=0
Theta_fun_plus(i) = Theta_fun(i);
else
Theta_fun_minus(i) = -Theta_fun(i);
end
end

x = Theta_fun.*sin(theta);
z = Theta_fun.*cos(theta);
x_plus = Theta_fun_plus.*sin(theta);
z_plus = Theta_fun_plus.*cos(theta);
x_minus = Theta_fun_minus.*sin(theta);
z_minus = Theta_fun_minus.*cos(theta);

figure('name','Theta Function','numbertitle','off');
plot1 = animatedline('linewidth',1.0,'color','k','linestyle','-');
plot2 = animatedline('linewidth',1.0,'color','k','linestyle','-.');
xlabel('x');
zlabel('z');
axis equal
box on
for i = 1:length(Theta_fun)
addpoints(plot1,x(i),z(i));
addpoints(plot2,x_minus(i),z_minus(i));
drawnow limitrate
pause(0.01)
end
title(sprintf('l = %0.0f, m = %0.0f',l,m));

%% ROTATION OF THETA FUNCTION AROUND Z AXIS
xmax= max(abs(x));
zmax= max(abs(z));
phi_rotation = linspace(0,2*pi,120);
figure('name','Theta Function Rotation','color','k','numbertitle','off');
hold on
set(gca,'color','k','xcolor','w','ycolor','w','zcolor','w')

plot3a = plot3(x_plus.*cos(phi_rotation(1)),...
x_plus.*sin(phi_rotation(1)),...
z_plus,...
'linewidth',1.0,'color','w','linestyle','-');
plot3b = plot3(x_minus.*cos(phi_rotation(1)),...
x_minus.*sin(phi_rotation(1)),...
z_minus,...
'linewidth',1.0,'color','w','linestyle','-.');
axis equal
rotate3d on
view(-60,20);
axis([-xmax xmax -xmax xmax -zmax zmax]);
for i = 1:length(phi_rotation)
x_rotation_plus = x_plus.*cos(phi_rotation(i))...
*abs(cos(m*phi_rotation(i)));
y_rotation_plus = x_plus.*sin(phi_rotation(i))...
*abs(cos(m*phi_rotation(i)));
z_rotation_plus = z_plus.*abs(cos(m*phi_rotation(i)));

x_rotation_minus = x_minus.*cos(phi_rotation(i))...
*abs(cos(m*phi_rotation(i)));
y_rotation_minus = x_minus.*sin(phi_rotation(i))...
*abs(cos(m*phi_rotation(i)));
z_rotation_minus = z_minus.*abs(cos(m*phi_rotation(i)));

plot3(x_rotation_plus,y_rotation_plus,z_rotation_plus,...
'linewidth',1.0,'color','w','linestyle','-');

plot3(x_rotation_minus,y_rotation_minus,z_rotation_minus,...
'linewidth',1.0,'color','w','linestyle','-.');
pause(0.05)
end

%% CALCULATION FOR SPHERICAL FUNCTION
theta_interp = linspace(0.005,pi-0.005,120);
phi_interp = linspace(0,2*pi,120);
[Theta_Thetap,Phi_matrix] = meshgrid(theta_interp,phi_interp);

Theta_fun_interp = interp1(theta,Theta_fun,theta_interp);
Spherical_fun = repmat(Theta_fun_interp,120,1)...
.*cos(m*Phi_matrix);

Spherical_fun_plus = zeros(size(Spherical_fun));
Spherical_fun_minus = zeros(size(Spherical_fun));
for i = 1:length(theta_interp)
for j = 1:length(phi_interp)
if Spherical_fun(i,j)>=0
Spherical_fun_plus(i,j) = Spherical_fun(i,j);
else
Spherical_fun_minus(i,j) = -Spherical_fun(i,j);
end
end
end

X_matrix_plus = Spherical_fun_plus.*sin(Theta_Thetap).*cos(Phi_matrix);
Y_matrix_plus = Spherical_fun_plus.*sin(Theta_Thetap).*sin(Phi_matrix);
Z_matrix_plus = Spherical_fun_plus.*cos(Theta_Thetap);

X_matrix_minus = Spherical_fun_minus.*sin(Theta_Thetap).*cos(Phi_matrix);
Y_matrix_minus = Spherical_fun_minus.*sin(Theta_Thetap).*sin(Phi_matrix);
Z_matrix_minus = Spherical_fun_minus.*cos(Theta_Thetap);

figure('name','Spherical Harmonics','color','black','numbertitle','off');
hold on
set(gca,'color','k','xcolor','w','ycolor','w','zcolor','w')
mesh(X_matrix_plus,Y_matrix_plus,Z_matrix_plus);
alpha(1);
surface(X_matrix_minus,Y_matrix_minus,Z_matrix_minus,...
'EdgeColor',[0.5 0.5 0.5],'FaceColor','green');
title(sprintf('l = %0.0f, m = %0.0f',l,m),'color','w');
axis equal
rotate3d on
view(-60,20);
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');

function dy = theta_diff_fun(theta,y)
%% Theta Differential Equation
global h M m
dy = zeros(2,1);
dy(1) = y(2);
dy(2) = -y(2)./tan(theta)-(M^2/h^2-m^2./(sin(theta)).^2).*y(1);