Máy phân tích phổ nhiễu xạ - Toán tử xung lượng

Phép đo xung lượng

Trong cơ học lượng tử, trạng thái của hệ vi hạt hoàn toàn được miêu tả qua hàm sóng. Nếu muốn xác định xem xung lượng của sóng-hạt có giá trị bằng bao nhiêu, ta cần dùng cách tử nhiễu xạ tinh thể như thí nghiệm Davisson-Germer hình 1.

Hình 1: Thí nghiệm Davisson-Germer

Cho chùm hạt tự do chiếu vuông góc vào mặt tinh thể nickel, đồng thời bố trí máy thu (detector) ở một góc nào đó. Máy thu cần di chuyển nhằm dò tìm cho được góc cực đại nhiễu xạ \vartheta. Bước sóng de-Broglie có thể tính bằng công thức nhiễu xạ Bragg:

\lambda =2d\sin\left(90^{\circ }-{\frac {\vartheta}{2}}\right),

trong đó d - khoảng cách giữa hai nguyên tử liên tiếp trong tinh thể nickel, và suy ra xung lượng:

\begin{equation}
p=\frac{2\pi\hbar}{\lambda}.
\label{eq:xungluong}
\end{equation}

Thí nghiệm này được tiến hành vào năm 1927, củng cố cho lý thuyết Luis de Broglie khi cho rằng, chùm hạt tự do với xung lượng p hoàn toàn tương đương với một sóng sin có dạng:

\begin{equation}
\psi_p(x,t)=e^{i\left(\frac{p}{\hbar}x-\frac{E}{\hbar}t\right)}.
\label{eq:de_Broglie}
\end{equation}

Giá trị xung lượng p sẽ tương ứng với một giá trị \vartheta trong phép đo, và ngược lại.

Nhưng, tình huống sẽ phức tạp hơn nếu ta bắn vào tinh thể không phải chùm hạt đồng nhất, mà là sự hỗn hợp giữa chùm có xung lượng p_1 với chùm có xung lượng p_2 (hình 3).

Hình 3: Đo xung lượng của chùm hạt hỗn hợp

Lúc này, chùm có xung lượng p_1 sẽ nhiễu xạ ở góc \vartheta_1, còn chùm kia nhiễu xạ ở góc \vartheta_2, với hai hướng tách bạch rất rõ ràng. Từ đó máy đo có thể xác định được giá trị p_1, p_2 tương ứng. Về bản chất, máy đo đã làm phép phân tích sóng ban đầu thành sự tổng hợp hai sóng de-Broglie:

\begin{equation}
\psi(x,t)=C_1\psi_{p_1}(x,t)+C_2\psi_{p_2}(x,t).
\label{eq:honhop_de_Broglie}
\end{equation}

Rõ ràng phép đo này không cho ra một giá trị xung lượng p xác định, mà nhiều xung lượng cùng lúc. Vậy nên chỉ có thể nói về xung lượng trung bình của sóng \psi(x,t):

\begin{equation}
\langle p\rangle=|C_1|^2p_1+|C_2|^2p_2,
\label{eq:xungluong_trungbinh}
\end{equation}

với C_1, C_2 - biên độ của mỗi sóng de-Broglie thành phần.

 

Máy phân tích phổ nhiễu xạ

Thiết bị cách tử nhiễu xạ tinh thể Davisson-Germer giúp chúng ta phân tích sóng \psi(x,t) bất kì ra thành sự chồng chập của nhiều sóng de-Broglie:

\begin{equation}
\psi(x,t)=\sum_n{C_n\psi_{p_n}(x,t),}
\label{eq:phantich_de_broglie}
\end{equation}

Mỗi sóng de-Broglie \psi_{p_n}(x,t) đều có giá trị xung lượng xác định bằng p_n, cho nên xung lượng trung bình của sóng \psi(x,t) bằng:

\begin{equation}
\langle p\rangle=\sum_n{|C_n|^2p_n}=\sum_n{C_n^*C_n\cdot p_n}.
\label{eq:xungluongtrungbinh1}
\end{equation}

Một cách nghệ thuật, nhờ tính trực giao của sóng de-Broglie, ta có thể biểu diễn \eqref{eq:xungluongtrungbinh1} dưới dạng đối xứng:

\begin{equation}
\langle p\rangle=\int\limits_{-\infty}^{\infty}{dx\sum_n{C_n^*\psi_{p_n}(x,t)^*\cdot\sum_n{p_nC_n\psi_{p_n}(x,t)}}}.
\label{eq:xungluongtrungbinh11}
\end{equation}

Mặt khác, giữa bản thân sóng de-Broglie \psi_{p_n}(x,t) và xung lượng p_n của nó có mối liên hệ đạo hàm đơn giản:

-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\psi_{p_n}(x,t)=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\left[e^{i\left(\frac{p}{\hbar}x-\frac{E}{\hbar}t\right)}\right]=p_n\psi_{p_n}(x,t).

Thế vào \eqref{eq:xungluongtrungbinh11}:

\langle p\rangle=\int\limits_{-\infty}^{\infty}{dx\sum_n{C_n^*\psi_{p_n}(x,t)^*\cdot\sum_n{-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}C_n\psi_{p_n}(x,t)}}}.

Hay:

\langle p\rangle=\int\limits_{-\infty}^{\infty}{dx\sum_n{C_n^*\psi_{p_n}(x,t)^*}\cdot\left[-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\sum_n{C_n\psi_{p_n}(x,t)}\right]}.

Mà:

\sum_n{C_n^*\psi_{p_n}(x,t)^*}=\psi(x,t)^*.

\sum_n{C_n\psi_{p_n}(x,t)}=\psi(x,t).

Ta có được công thức tính xung lượng trung bình chỉ cần thông qua trạng thái \psi(x,t):

\begin{equation}
\langle p\rangle=\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\,\psi(x,t)^*\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\psi(x,t)dx}.
\label{eq:xungluongtrungbinh2}
\end{equation}

Như vậy, thiết bị đo xung lượng Davisson-Germer về bản chất là một máy phân tích phổ nhiễu xạ, vừa đóng vai trò như một "máy đạo hàm", giúp thực hiện phép đạo hàm -i\hbar\dfrac{\partial}{\partial x} nói trên mà không cần đến toán học. Bản thân đạo hàm trên được gọi là toán tử xung lượng:

\hat{p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}.

Công thức \eqref{eq:xungluongtrungbinh2} có thể viết thành:

\langle p\rangle=\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\,\psi(x,t)^*\hat{p}\psi(x,t)dx}.

Toán tử xung lượng

Toán tử xung lượng \hat{p}=-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial x} là môt phương tiện toán học giúp tính toán xung lượng trung bình của một sóng \psi(x,t) bất kì nào đó. Nếu sóng \psi(x,t) là một chùm hạt tự do đồng nhất de-Broglie:

\psi(x,t)=\psi_p(x,t),

máy phân tích phổ nhiễu xạ sẽ cho ra đúng một giá trị xung lượng duy nhất, và xung lượng trung bình \bar{p} cũng bằng chính xung lượng duy nhất đó:

\begin{eqnarray}
\langle p\rangle&=&\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\,\psi_p(x,t)^*\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\psi_p(x,t)dx}\nonumber\\
&=&\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\,e^{-i\left(\frac{p}{\hbar}x-\frac{E}{\hbar}t\right)}\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)e^{i\left(\frac{p}{\hbar}x-\frac{E}{\hbar}t\right)}dx}\nonumber\\
&=&p.
\end{eqnarray}

Nếu sóng \psi(x,t) có dạng bất kì, máy phân tích phổ nhiễu xạ sẽ làm nhiệm vụ phân tích sóng thành tổng phổ:

\begin{eqnarray}
\langle p\rangle&=&\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\,\psi(x,t)^*\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\psi(x,t)dx}\nonumber\\
&=&\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\sum_n{C_n^*\psi_{p_n}(x,t)^*}\left[-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\sum_n{C_n\psi_{p_n}(x,t)}\right]}dx\nonumber\\
&=&\sum_n{\int\limits_{-\infty}^{\infty}{\,C_n^*\psi_{p_n}(x,t)^*\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)C_n\psi_{p_n}(x,t)dx}}\nonumber\\
&=&\sum_n{|C_n|^2p_n}.
\end{eqnarray}

Rõ ràng toán tử xung lượng -i\hbar\dfrac{\partial}{\partial x} đang đóng vai trò không khác gì máy phân tích phổ nhiễu xạ, hay thiết bị đo xung lượng Davisson-Germer. Nó cũng phân tích sóng \psi(x,t) ra các thành phần de-Broglie và làm phép đạo hàm. Như vậy, toán tử xung lượng có vai trò hoàn toàn tương đương với hoạt động của máy đo xung lượng. Mối liên hệ ấy có thể hình dung qua sơ đồ sau:

Hàm sóng \psi(x,t) \rightarrow Máy phân tích phổ nhiễu xạ \rightarrow Tổng các sóng de-Broglie \rightarrow Tính xung lượng trung bình \bar{p} qua góc lệch nhiễu xạ của mỗi sóng de-Broglie thành phần.

Hàm sóng \psi(x,t) \rightarrow Toán tử xung lượng -i\hbar\dfrac{\partial}{\partial x} \rightarrow Tổng các sóng de-Broglie \rightarrow Tính xung lượng trung bình \bar{p} bằng phép đạo hàm lên mỗi thành phần de-Broglie