Đại lượng có giá trị xác định đồng thời

Nguyên lý chung của phép đo

Khi tiến hành đo một đại lượng vật lý nào đó, ta cần sử dụng đúng loại máy đo thích hợp. Muốn đo xung lượng cần máy phân tích phổ nhiễu xạ. Muốn đo năng lượng cần quang phổ kế. Với phép đo một đại lượng cụ thể, như xung lượng chẳng hạn, máy đo sẽ phân tích hàm sóng \psi(x,t) ra thành tổng hợp nhiều sóng de-Broglie:

\begin{equation}
\psi(x,t)=\sum_n{C_n\psi_{p_n}(x,t).}
\label{eq:phantich_de_broglie}
\end{equation}

Sóng \psi_{p_1}(x,t) có xung lượng p_1, sóng \psi_{p_2}(x,t) có xung lượng p_2,\ldots sóng \psi_{p_n}(x,t) có xung lượng p_n. Mỗi sóng thành phần de-Broglie trong tổng \eqref{eq:phantich_de_broglie} có xung lượng hoàn toàn khác nhau. Vì thế trạng thái \psi(x,t) tổng thể lại không có giá trị xung lượng xác định. Xung lượng của hạt chỉ có thể nói ở khái niệm trung bình:

\langle p\rangle=\sum_n{|C_n|^2p_n}.

Tình huống tương tự xảy ra khi làm phép đo năng lượng, máy đo sẽ phân tích sóng \psi(x,t) không theo bộ de-Broglie như trên, mà theo các trạng thái dừng:

\begin{equation}
\psi(x,t)=\sum_n{C_n\psi_{E_n}(x,t).}
\label{eq:phantich_trangthaidung}
\end{equation}

Sóng \psi_{E_1}(x,t) có năng lượng E_1, sóng \psi_{E_2}(x,t) có năng lượng E_2,\ldots sóng \psi_{E_n}(x,t) có năng lượng E_n. Mỗi sóng dừng trong tổng \eqref{eq:phantich_trangthaidung} có năng lượng hoàn toàn khác nhau. Ta nói rằng trạng thái \psi(x,t) không có giá trị năng lượng xác định. Năng lượng của hạt chỉ có thể nói ở khái niệm trung bình:

\langle E\rangle=\sum_n{|C_n|^2E_n}.

 

Nguyên lý bất định

Khái niệm về sự xác định của một đại lượng vật lý nghe có vẻ rất khác với cơ học cổ điển. Trong cơ học cổ điển, mọi đại lượng vật lý đều có giá trị xác định của nó. Nhưng với cơ học lượng tử, khi năng lượng xác định thì sóng phải là tổ hợp của nhiều de-Broglie với xung lượng khác nhau.

Nếu trạng thái của hạt trùng với một trong số những sóng de-Broglie:

\psi(x,t)=\psi_{p_n}(x,t),

hạt sẽ có xung lượng hoàn toàn xác định, đúng bằng p_n.

Nếu trạng thái của hạt trùng với một trong số những trạng thái dừng:

\psi(x,t)=\psi_{E_n}(x,t),

hạt sẽ có năng lượng hoàn toàn xác định, đúng bằng E_n.

Nhìn chung \psi_{p_n}(x,t)\psi_{E_n}(x,t) là hai hàm sóng khác nhau. Hàm sóng de-Broglie \psi_{p_n}(x,t) có dạng sin, còn hàm trạng thái dừng \psi_{E_n}(x,t) lại có hình dạng đặc biệt, tuỳ vào hố thế. Do vậy nhìn chung, xung lượng và năng lượng của một hạt không thể có giá trị xác định đồng thời.

 

Hàm riêng và giá trị riêng

Nếu cho toán tử xung lượng tác dụng lên sóng de-Broglie:

-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}e^{i\left(\frac{p}{\hbar}x-\frac{E}{\hbar}t\right)}=pe^{i\left(\frac{p}{\hbar}x-\frac{E}{\hbar}t\right)}.

Hay viết gọn:

\hat{p}\psi_p(x,t)=p\psi_p(x,t).

Điều trên có nghĩa: tác dụng của toán tử xung lượng \hat{p} lên hàm sóng de-Broglie bằng chính xung lượng p nhân với hàm sóng de-Broglie. Chỉ có sóng de-Broglie mới thoả mãn tính chất như trên, nên ta gọi hàm sóng de-Broglie là hàm riêng của toán tử xung lượng, còn p được gọi là giá trị riêng của toán tử xung lượng.

Nếu cho toán tử Hamilton tác dụng lên sóng dừng \psi_E(x,t) của trạng thái dừng, theo phương trình dừng Schrodinger ta có:

\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U(x)\right]\psi_E(x,t)=E\psi_E(x,t).

Hay viết gọn:

\hat{H}\psi_E(x,t)=E\psi_E(x,t).

Điều trên có nghĩa: tác dụng của toán tử năng lượng \hat{H} lên sóng dừng bằng chính năng lượng E nhân với hàm sóng trạng thái dừng. Chỉ có sóng dừng \psi_E(x,t) mới thoả mãn tính chất như trên, nên ta gọi sóng dừng \psi_E(x,t)hàm riêng của toán tử năng lượng, còn E được gọi là giá trị riêng của toán tử năng lượng.

Nhìn chung, một đại lượng vật lý L nào đó có giá trị xác định chỉ khi hạt có trạng thái \psi(x,t)=\psi_L(x,t) thoả mãn phương trình:

\hat{L}\psi_L(x,t)=L\psi_L(x,t),

trong đó \hat{L} - toán tử tương ứng với đại lượng L, \psi_L(x,t) - hàm riêng của toán tử \hat{L}, còn L - giá trị riêng của toán tử \hat{L}.

 

Đại lượng có giá trị xác định đồng thời

Từ trên ta thấy, hai đại lượng vật lý có giá trị xác định đồng thời khi và chỉ khi toán tử của chúng có chung một hàm riêng duy nhất. Cơ học lượng tử rất quan tâm đến những trạng thái dừng, bởi lẽ hàm sóng dừng \psi_E(x,t) không những là hàm riêng của toán tử năng lượng, mà còn là hàm riêng của toán tử moment động lượng. Nói cách khác, năng lượng và moment động lượng là những đại lượng có giá trị xác định đồng thời, và chúng xác định khi hạt nằm ở trạng thái dừng.